Hoofdmenu openen
Het ∞ symbool in verschillende lettertypes.

Oneindigheid staat in de betekenis van niet-eindig tegenover het begrip eindig. Het is een begrip in de filosofie en de natuurwetenschappen (zie daarvoor ook universum). In de wis- en natuurkunde heeft oneindig een min of meer kwantitatieve betekenis en wordt als symbool voor oneindig een lemniscaat (∞) gebruikt (ongeveer een liggende acht, en daarom ook wel zo genoemd).

Inhoud

Definitie en eigenschappenBewerken

In de wiskunde wordt oneindig soms beschouwd als een soort getal, maar dan een getal dat groter is dan elk reëel getal. Daarnaast bestaan er verschillende soorten oneindigheid, die worden aangegeven door verschillende zogenaamde kardinaalgetallen, die de mate van oneindigheid aangeven. Deze kardinaalgetallen worden aangegeven met de letter alef ( ), gevolgd door een geheel getal.

Een verzameling is oneindig als zij gelijkmachtig is met een echte deelverzameling, wat inhoudt dat er een een-op-eenrelatie is tussen die deelverzameling en de verzameling zelf.[1]

Iedere verzameling   die gelijkmachtig is met een oneindige verzameling   is zelf ook oneindig. Immers, als er een een-op-eenrelatie   is tussen   en een echte deelverzameling   van   is   een echte deelverzameling van   die een-op-een op   zelf kan worden afgebeeld.

Een belangrijk voorbeeld van een oneindige verzameling is de verzameling van de natuurlijke getallen:   De afbeelding   beeldt de natuurlijke getallen een-op-een af op de echte deelverzameling   van de even getallen. Dus is de verzameling natuurlijke getallen, en daarmee ook de even getallen, oneindig.

Aftelbaar oneindigBewerken

Er zijn verschillende graden van oneindigheid. De kleinst denkbare oneindigheid is de oneindigheid van de natuurlijke getallen. Deze vorm van oneindigheid wordt aftelbare oneindigheid of discrete oneindigheid genoemd en aangeduid met het symbool   (alef nul). Van verzamelingen die gelijkmachtig zijn met de natuurlijke getallen, zegt men dat ze de kardinaliteit ("aantal elementen")   hebben, Voorbeelden zijn de gehele getallen   de even getallen en de oneven getallen. Maar ook de rationale getallen   en de algebraïsche getallen   zijn aftelbaar oneindig.

De term 'aftelbaar oneindig' is gekozen omdat van elke verzameling die gelijkmachtig is met de natuurlijke getallen de elementen via de een-op-eenrelatie afgeteld kunnen worden. De elementen van een dergelijke verzameling kunnen dus achter elkaar worden gezet zodanig dat er een eerste getal is, een tweede getal, een derde getal enzovoort, waarbij de lijst alle elementen van de verzameling bevat en zo dus allemaal 'afgeteld' kunnen worden.

De rationale getallen kunnen bijvoorbeeld als volgt afgeteld worden:

 

OveraftelbaarBewerken

Als een verzameling oneindig veel elementen bevat, en er géén een-op-eenafbeelding construeerbaar is tussen deze verzameling en de natuurlijke getallen, hebben we te maken met een niet-aftelbaar oneindige verzameling, Bij iedere poging tot aftellen zijn er altijd elementen die niet geteld worden. De verzameling bevat wezenlijk meer elementen dan de natuurlijke getallen. Zo'n verzameling wordt overaftelbaar genoemd.

Een voorbeeld is de verzameling van de reële getallen. Georg Cantor, een 19e-eeuwse Duitse wiskundige die als een van de eersten het begrip oneindigheid grondig onderzocht, bewees dat de verzameling van de reële getallen 'groter' is dan de verzameling natuurlijke getallen, hoewel het aantal elementen van beide verzamelingen oneindig is. Dit deed hij met behulp van de zogenaamde diagonaalmethode.

Uitgebreide reële getallenlijnBewerken

Men breidt de reële getallen wel uit met de symbolen   en   met als resultaat de uitgebreide reële getallenlijn:

 .

In het proces waarbij reële getallen door vervollediging van rationale getallen formeel worden geconstrueerd als equivalentieklassen van cauchyrijen, kan   worden gedefinieerd als de verzameling rijen rationale getallen waarbij voor elke   er een   bestaat, zodanig dat voor alle   geldt dat  . Ook kan worden uitgegaan van de reële getallen, en kunnen deze via een vergelijkbare constructie uitgebreid worden. Op analoge wijze kan ook   gedefinieerd worden.

Rekenen met oneindigBewerken

De rekenkundige operaties op de reële getallen kunnen deels worden uitgebreid tot operaties op de uitgebreide reële getallenlijn.

De optelling in   is deels uitbreidbaar tot  , maar daarmee is   niet zoals   een groep:

 

Verder:

 

Topologische ruimten met oneindig als elementBewerken

De uitgebreide reële getallenlijn   kan voorzien worden van de topologie van een gesloten interval, zo dat het normale limietbegrip voor een rij in die topologische ruimte kan worden toegepast voor convergentie naar   en   Dit is het geval bij de topologie die voor een gegeven begrensde strikt stijgende continue functie  , uitgebreid tot een functie op   met   gesteld op   en   op  , wordt geïnduceerd door de metriek waarbij de afstand van   tot   gelijk is aan  . Deze topologie is onafhankelijk van  . Met deze topologie is elk van deze functies   continu op  . Zoals de notatie al suggereert is in deze topologische ruimte de hele ruimte   de afsluiting van  .

Een andere benadering stelt   en   aan elkaar gelijk, zie reële projectieve lijn, met als topologie die van een cirkel. Convergentie in deze ruimte naar ∞ van een rij komt overeen met convergentie in de bovengenoemde   naar ∞ van de rij van absolute waarden. Ook in deze topologische ruimte is de hele ruimte de afsluiting van  . Afhankelijk van de context moet men hier echter voorzichtig zijn met de notatie  , omdat die al voor de bovengenoemde ruimte wordt gebruikt. Ter onderscheiding wordt hier wel de notatie   gebruikt.

Nog even de homeomorfismen samengevat:   is homeomorf aan een open interval,   is homeomorf aan een gesloten interval, en   is homeomorf aan een cirkel.

De totale orde van   kan op natuurlijke wijze uitgebreid worden tot  , maar niet tot  .

Zie ookBewerken