Affiene ruimte

In de meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een affiene ruimte een meetkundige structuur, die de affiene eigenschappen van de euclidische ruimte veralgemeent. Informeel kan men zich een affiene ruimte voorstellen als een vectorruimte, maar dan zonder een punt dat als oorsprong fungeert. In een affiene ruimte kan men punten van elkaar aftrekken om zo vectoren te krijgen, of kan men een vector optellen bij een punt om zo een ander punt te verkrijgen, maar men kan punten niet bij elkaar optellen.

Lijnstukken in een tweedimensionale affiene ruimte.

DefinitieBewerken

Een affiene ruimte is een drietal  , waarin   een niet-lege verzameling is, waarvan de elementen punten genoemd worden,   een vectorruimte over een lichaam/veld   is en   een afbeelding, pijlafbeelding,   is die aan het puntenpaar   hun verbindingsvector   toevoegt, waarvoor geldt;

  • voor elk drietal punten   is   (driehoeksregel of betrekking van Chasles)
  • voor elk punt   en elke vector   is er een eenduidig bepaald punt  , zodanig dat  .[1]

Men spreekt eenvoudig over de affiene ruimte   zonder meer, als uit de context duidelijk is wat de vectorruimte   en de pijlafbeelding zijn.

De dimensie van een affiene ruimte is dezelfde als de dimensie van de bijbehorende vectorruimte.

VoorbeeldBewerken

Laat   een gewoon vlak zijn. Door de keuze van een assenstelsel wordt   tot een euclidische ruimte  . De pijlafbeelding is bepaald door  . Inderdaad is:

  •  
  • voor   en   is  ,en er geldt
 
als  , dan is  , dus  

Elementaire eigenschappenBewerken

Zij   een affiene ruimte. Voor punten   geldt:

 
 
  (parallellogramregel)

Voor   geldt:

  (gegeneraliseerde betrekking van Chasles)

Affiene deelruimtenBewerken

Als   een punt is in de affiene ruimte   en   een deelruimte van  , dan is de deelverzameling van  :

 

met de beperking van de pijlafbeelding tot   een affiene ruimte over   die affiene deelruimte van   genoemd wordt. Er geldt immers voor punten  :

 , met  ,

dus

 

en voor   en   is

 
 
Affiene ruimte, projectieve ruimte, vectorruimte

Een affiene deelruimte van een vectorruimte   (ook wel een lineaire variëteit genoemd) is een onder affiene combinaties van vectoren in deze ruimte gesloten deelverzameling.

Bij een gegeven familie   van vectoren in   is bijvoorbeeld de verzameling

 

die bestaat uit de affiene combinaties van eindige aantallen vectoren uit de familie, een affiene deelruimteruimte, die het affiene opspansel van de familie   genoemd wordt. Om in te zien dat dit inderdaad een affiene ruimte is, kan bewezen worden dat deze verzameling een transitieve actie van de lineaire deelruimte   van   draagt:

 

Deze affiene deelruimte kan op equivalente wijze worden omschreven als de nevenklasse van de  -actie

 

waarin   een element van   is, of op equivalente wijze als een niveauverzameling van de quotiënttopologie  . Een keuze uit   geeft een basispunt van   en een identificatie van   met  , maar er is geen logische keuze, noch een natuurlijke identificatie van   met  .

Een lineaire transformatie is een functie die alle lineaire combinaties bewaart; een affiene transformatie is een functie die alle affiene combinaties bewaart. Een lineaire deelruimte is een affiene deelruimte met daarin een oorsprong, oftewel, op gelijkwaardige wijze een deelruimte, die onder lineaire combinaties is gesloten.

Bijvoorbeeld in de   zijn de oorsprong, de lijnen en vlakken door de oorsprong en ook de gehele ruimte met oorsprong zelf lineaire deelruimten, terwijl punten, lijnen en vlakken in het algemeen, alsmede de gehele ruimte affiene deelruimten zijn.

Zie ookBewerken

ReferentiesBewerken