Hoofdmenu openen

Het wiskundige begrip compact komt uit de topologie. Het probeert de notie te vatten van een "kleine" of "handelbare" topologische ruimte. Een topologische ruimte wordt compact genoemd als elk van haar open overdekkingen een eindige deeloverdekking heeft. Is dit niet het geval dan wordt zo'n topologische ruimte niet-compact genoemd.

Merk op dat sommige auteurs zoals Bourbaki hiervoor de term "quasi-compact" gebruiken. Zij reserveren de term "compact" voor topologische ruimtes die zowel Hausdorff als "quasi-compact" zijn.

De stelling van Heine-Borel laat zien dat deze definitie voor deelverzamelingen van de euclidische ruimte gelijkwaardig is aan gesloten en begrensd. In is bijvoorbeeld het gesloten eenheidsinterval compact, maar is de verzameling van de gehele getallen dit niet (deze deelverzameling is niet begrensd). Ditzelfde geldt ook voor het halfopen interval (deze deelverzameling is niet gesloten).

Het concept van een compacte deelverzameling van de reële getallen kan worden uitgebreid naar compacte deelverzamelingen van enige topologische ruimte en zelfs naar het concept van een compacte ruimte. Een deelverzameling is compact, wanneer deze deelverzameling, uitgerust met een deelruimtetopologie, een compacte ruimte wordt.

DefinitieBewerken

Een topologische ruimte   wordt compact genoemd als elke open overdekking van   een eindige deeloverdekking heeft. Dat wil zeggen dat, als

 

een willekeurige, eventueel oneindige, familie open verzamelingen van   is zodanig dat

 

er een eindige deelfamilie   is waarvoor ook

 

Een deelverzameling   van   heet compact als ze, uitgerust met de deelruimtetopologie, op haar beurt een compacte topologische ruimte vormt. Dit is gelijkwaardig met de eis dat voor elke willekeurige familie open verzamelingen van   die   overdekt, er een eindige deelfamilie bestaat die   nog steeds overdekt. Dus als

 

een willekeurige, eventueel oneindige, familie open verzamelingen van   is zodanig dat

 

dan bestaat er een eindige deelfamilie   waarvoor ook

 

EigenschappenBewerken

Een belangrijke eigenschap van compacte topologische ruimten is dat het beeld van een compacte ruimte onder een continue afbeelding ook weer compact is. Met andere woorden: compactheid is een continu-invariant. Andere eigenschappen zijn:

  • Als   compact is en   is gesloten, dan is   met de deelruimtetopologie compact.
  • Als   een Hausdorff-ruimte is en   met de deelruimtetopologie is compact, dan is   gesloten.

Uit deze eigenschappen volgt bijvoorbeeld dat een bijectieve continue afbeelding van een compacte ruimte naar een Hausdorff-ruimte altijd een homeomorfisme is.

De stelling van Tychonov luidt dat het product van compacte ruimten opnieuw compact is.

Compacte metrische ruimtenBewerken

Als de topologische structuur van   afkomstig is van een afstandsfunctie (metriek), dan is compactheid gelijkwaardig met de volgende eigenschap: iedere rij in   heeft een convergente deelrij.

In algemene (niet-metrische) topologische ruimten geldt bovenstaande gelijkwaardigheid niet, maar een veralgemeende stelling kan worden geformuleerd aan de hand van het begrip filter:   is compact als en slechts als elke ultrafilter convergeert.

In metrische ruimten is compactheid tevens gelijkwaardig met het samengaan van de volgende twee eigenschappen:

  • volledigheid;
  • totale begrensdheid: voor elke willekeurig kleine   bestaat er een overdekking van   door een eindig aantal open bollen met straal  .

Dit is een veralgemeende vorm van de stelling van Heine-Borel, genoemd naar Heinrich Eduard Heine en Émile Borel.

"Totaal begrensd" heet in sommige handboeken precompact.

Compacte delen van de Euclidische ruimteBewerken

Metrische ruimten zijn tevens Hausdorff-ruimten. De compacte delen van   met de gewone metriek zijn dus gesloten.

Elke compacte (deelruimte van een) metrische ruimte is begrensd. Dit blijkt aan de hand van de open overdekking die bestaat uit alle open bollen   met een vast middelpunt  .

De stelling van Heine-Borel karakteriseert de compacte deelruimten van   als precies de gesloten, begrensde deelverzamelingen.

Lokaal compactBewerken

Een topologische ruimte heet lokaal compact als ieder punt een omgevingenbasis heeft die uit compacte verzamelingen bestaat.

Relatief compactBewerken

Een deelverzameling   van een topologische ruimte   heet relatief compact als haar topologische sluiting in   compact is. Soms wordt de term precompact gebruikt als synoniem van relatief compact, maar dit creëert verwarring met het begrip totale begrensdheid.

Compacte operatorBewerken

De operatorentheorie bestudeert lineaire afbeeldingen tussen topologische vectorruimten. Een continue lineaire afbeelding heet compact als ze begrensde verzamelingen afbeeldt op relatief compacte verzamelingen. In metrische topologische vectorruimten heeft het adjectief "begrensd" zijn gewone betekenis, in algemenere topologische vectorruimten geldt een aangepaste definitie.

CompactificatieBewerken

Compacte ruimten zijn meestal eenvoudiger te analyseren dan niet-compacte ruimten. Het kan dus interessant zijn te weten, dat een gegeven ruimte minstens deel uitmaakt van een compacte ruimte. Er bestaan verschillende standaard-technieken om een gegeven ruimte uit te breiden tot een compacte ruimte.

De Alexandrov-compactificatie of eenpuntscompactificatie voegt aan een willekeurige topologische ruimte één punt toe, punt op oneindig genaamd. Een verzameling heet open in   als ze een open verzameling is in de oorspronkelijke topologie van   of als haar complement een compact deel van   is. De eenpuntscompactificatie bestaat voor eender welke topologische ruimte  

De Stone-Čech-compactificatie of beta-compactificatie is beperkt tot ruimten   die aan het scheidingsaxioma   (axioma van Tychonov) voldoen. De uitgebreide ruimte is niet alleen compact, maar bovendien Hausdorff. De constructie gaat als volgt: zij   de verzameling van alle continue functies van   naar het gesloten interval   De ruimte   kan worden opgevat als deelruimte van de oneindige productruimte

 

door met ieder element   de evaluatie van continue functies in   te associëren. De topologische sluiting van deze deelruimte is de compactificatie van