Dichte verzameling

Samenvoegen   Ten minste één Wikipediagebruiker vindt dat de onderstaande inhoud, of een gedeelte daarvan, samengevoegd zou moeten worden met Dicht (wiskunde), of dat er een duidelijkere afbakening tussen deze artikelen dient te worden gemaakt  (hier melden).

In de topologie en aanverwante deelgebieden binnen de wiskunde wordt een deelverzameling van een topologische ruimte dicht genoemd als, intuïtief gesproken, elk punt in "goed-benaderd" kan worden door punten in . Formeel gesproken is dicht in , indien voor elk punt in elke omgeving van ten minste één punt van ligt.

Gelijkwaardig: is dicht in als de enige gesloten deelverzameling van die bevat, zelf is. Dit kan ook worden uitgedrukt door te zeggen dat de afsluiting van gelijk is aan , of dat het inwendige van het complement van leeg is.

Dichtheid in metrische ruimtesBewerken

Een alternatieve definitie van een dichte verzameling in het geval van metrische ruimten is de volgende:

De verzameling   in een metrische ruimte   is dicht als elke   een limiet van een rij van elementen in   is. Immers, wanneer de topologie van   wordt gegeven door een metriek is de afsluiting   van   in   de vereniging van   en de verzameling van alle limieten van rijen van elementen in   (haar ophopingspunten):

 

Dan is   dicht in   als

 


Als   een rij van dichte open verzamelingen is in een complete metrische ruimte  , dan is de doorsnede   ook dicht in  . Dit feit is een van de equivalente vormen van de categoriestelling van Baire.

VoorbeeldenBewerken

Zie ookBewerken