Hoofdmenu openen
Projectiekaart uit 1623 van het Noordpoolgebied door Gerard Mercator

Een kaartprojectie is een methode om het gebogen oppervlak van de Aarde over te brengen op een vlakke kaart. Als wordt afgezien van de afplatting van de Aarde, is dit wiskundig een afbeelding van een boloppervlak of een deel daarvan op een plat vlak.

In een aantal gevallen kan de afbeelding ook als meetkundige projectie worden weergegeven op een ontwikkelbaar oppervlak. Voor de meeste kaartprojecties gaat dit echter niet op; de term projectie wordt dan in een meer algemene zin gebruikt.

Het is niet mogelijk om het aardoppervlak zonder vervormingen weer te geven op een plat vlak (het aardoppervlak is zelf geen ontwikkelbaar oppervlak). Er zijn dan ook vele kaartprojecties met verschillende eigenschappen. Afhankelijk van de aan de kaart gestelde eisen en het af te beelden gebied, is een projectie meer of minder geschikt. Bij nationale coördinatensystemen is daarom gekozen voor een kaartprojectie die bij het betreffende land past.

Inhoud

Meetkundige projectiesBewerken

Een meetkundige kaartprojectie kan men zich voorstellen als een doorzichtig model van een deel van het aardoppervlak (als een dia in de vorm van een deel van een bol), dat op een projectiescherm wordt geprojecteerd. De lichtbron bevindt zich op grote afstand (parallelprojectie) of bijvoorbeeld in het centrum of op het oppervlak van de bol (puntprojectie). Het projectiescherm kan een kegel zijn, of de uitersten daarvan: een cilinder of een plat vlak. Afhankelijk van de plek van de 'lichtbron', de oorsprong van de projectie, en de vorm en positie van het 'projectiescherm' (het kaartbeeld) ontstaan allerlei verschillende soorten projecties met uiteenlopende eigenschappen. Soms wordt een projectie in algemenere zin beschreven in termen van een meetkundige projectie, maar dan met de plek van de 'lichtbron' afhankelijk van het geprojecteerde punt op het aardoppervlak. Bij bijvoorbeeld de orthografische cilinderprojectie is de 'lichtbron' op de cilinderas, maar de positie daarop hangt af van de breedtegraad van het geprojecteerde punt. Fysiek kan men zich dit voorstellen als lampjes op de as die door afscherming alleen in de richtingen loodrecht op de as (rondom) schijnen.

Vorm van de aardeBewerken

De vorm van de aarde heeft een grillig verloop dat ongeschikt is om te dienen als uitgangspunt bij het vervaardigen van een kaart. Om toch een kaart mogelijk te maken, wordt gebruikgemaakt van benaderingen en tussenstappen zoals de rekenbol. In toenemende mate van benadering van de werkelijke vorm zijn dit de bol, de omwentelingsellipsoïde en de geoïde.

BolBewerken

Indien de nauwkeurigheid niet zo groot hoeft te zijn, zoals bij kaarten op kleine schaal als wereldkaarten, kan de aarde als bol worden beschouwd.

EllipsoïdeBewerken

Isaac Newton berekende reeds in de 17e eeuw op theoretische gronden dat de Aarde als gevolg van de zwaartekracht enerzijds en de middelpuntvliedende kracht anderzijds geen bol is, maar een oblate ellipsoïde met afgeplatte polen. Later werd die afplatting nauwkeurig berekend.

Er zijn verschillende referentie-ellipsoïdes in gebruik die verschillen in vorm, afmetingen, positie, oriëntatie en schaalfactor. Zo zijn oudere ellipsoïdes in gebruik die goed aansluiten bij de lokale geoïde, maar die wereldwijd niet goed bruikbaar zijn. Tegenwoordig zijn ellipsoïdes in gebruik met het massacentrum van de aarde als oorsprong, zoals WGS 84.

GeoïdeBewerken

Het topografisch oppervlak wordt benaderd met de geoïde, het vlak op gemiddeld zeeniveau waar dezelfde zwaartekrachtpotentiaal heerst, het equipotentiaalvlak. Ook dit is echter nog dusdanig onregelmatig dat hiervan geen bruikbaar wiskundig model is te maken.

Vormen van projectieBewerken

Een meetkundige projectie wordt wel aangeduid als echte projectie. Vaak is de constructie eerder mathematisch, in welk geval wel wordt gesproken van een onechte projectie. Hieronder volgt een overzicht van de kenmerken van zowel 'echte' als 'onechte' projecties.

De indeling van meetkundige projecties naar projectievlak (kegelprojectie, cilinderprojectie en azimutale projectie) is in veel gevallen uitbreidbaar naar 'onechte' projecties, doordat die kunnen worden opgevat als verkregen door een meetkundige projectie verder te bewerken om gewenste eigenschappen te krijgen. Nog verdergaande bewerkingen leveren bijvoorbeeld de pseudo-cilindrische oppervlaktegetrouwe sinusoïde projectie en de Robinsonprojectie op.

De meetkundige projecties worden verder ingedeeld naar de plaats van de oorsprong ('lichtbron'). Het projectievlak wordt in het algemeen zodanig gekozen dat het zonder tweede projectie tot een plat vlak kan worden gemaakt. Na de keuze voor een projectievlak, kan dit op verschillende manieren tegen (of gedeeltelijk 'in') de bol worden geplaatst, meestal zodanig dat het af te beelden deel van de wereld in het midden van de kaart terechtkomt, waar de vervormingen het kleinst zijn.

Kegelprojectie Cilinderprojectie Azimutale projectie
Projectievlak  
Het projectievlak is een kegelmantel.
 
Het projectievlak is een cilindermantel.
 
Het projectievlak is een plat vlak.
Ligging  
De ligging kan normaal, transversaal of scheef zijn. Bij een normale ligging valt de centrale as samen met de aardas, terwijl deze bij een transversale ligging negentig graden gedraaid ligt ten opzichte van normaal. Een scheve (oblique) ligging valt tussen beide in.
Contact   
Het projectievlak kan het aardoppervlak raken, maar ook snijden. De vervorming is minimaal waar het projectievlak het aardoppervlak raakt. In sommige gevallen geldt dit ook waar het projectievlak het aardoppervlak snijdt.
Oorsprong
De oorsprong van een meetkundige projectie, het 'lichtpunt', kan op verschillende plaatsen ten opzichte van de bol gekozen worden
    

Bij de gnomonische of centrale projectie ligt de oorsprong van de projectie in het centrum van de bol. Bij de stereografische projectie ligt de oorsprong diametraal tegenover het raakpunt op de andere kant van de bol. Bij orthografische projectie wordt loodrecht op een oppervlak geprojecteerd (bij orthografische cilinderprojectie is daarbij de oorsprong afhankelijk van een van beide coördinaten van het geprojecteerde punt). Bij afbeelding op een plat vlak komt dat overeen met een oorsprong op grote afstand. Bij de perspectiefprojectie ligt de oorsprong buiten de aardbol en wordt het dichtstbijgelegen deel van de bol afgebeeld.

Conforme projecties

Een hoekgetrouwe of conforme kaart laat hoeken intact en beeldt daardoor een kleine vorm op de bol bij benadering gelijkvormig af op de kaart

 

Conforme kegelprojectie van Lambert

 

Normale conforme projectie

 

Stereografische projectie

Equivalente projecties

De schaal van de equivalente kaart kan variëren, maar de verhouding van de oppervlakten van twee gebieden op de kaart is gelijk aan de verhouding van hun oppervlakten in werkelijkheid

 

Equivalente kegelprojectie

 

Cilinderprojectie van Lambert

 

Azimutale projectie van Lambert

Equidistante projectie

Op een afstandsgetrouwe of equidistante kaart is de schaal langs bepaalde lijnen onafhankelijk van het punt op zo'n lijn. Deze lijnen kunnen ontspringen aan één punt (radiaal) of parallel langs elkaar liggen. Langs lijnen die uit een ander punt ontspringen respectievelijk die niet parallel lopen geldt die afstandsgetrouwheid niet

 

Equidistante kegelprojectie

 

Kwadratische platkaart

 

Equidistante azimutale projectie

Gewenste eigenschappenBewerken

Door bovenstaande parameters te kiezen, en als gevolg van eventuele nabewerkingen, krijgt de kaart bepaalde eigenschappen. Gewenste eigenschappen kunnen zijn:

  • hoekgetrouwheid
    een hoekgetrouwe of conforme kaart laat hoeken intact en beeldt daardoor een kleine vorm op de bol bij benadering gelijkvormig af op de kaart;
  • richtinggetrouwheid
    grootcirkels door één bepaald punt vormen rechte lijnen;
  • oppervlaktegetrouwhid
    de schaal van de equivalente kaart kan variëren, maar de verhouding van de oppervlakten van twee gebieden op de kaart is gelijk aan de verhouding van hun oppervlakten in werkelijkheid;
  • aaneensluitend
    door kaarten te verknippen kan voor elk van de delen een optimale projectie worden gekozen, maar de delen sluiten dan niet naadloos meer op elkaar aan;
  • afstandsgetrouwheid
    op een afstandsgetrouwe of equidistante kaart is de schaal langs bepaalde lijnen onafhankelijk van het punt op zo'n lijn. Deze lijnen kunnen ontspringen aan één punt (radiaal) of parallel langs elkaar liggen. Langs lijnen die uit een ander punt ontspringen resp. die niet parallel lopen geldt die afstandsgetrouwheid niet.
  • behoud van kortste weg
    bij sommige projecties (m.n. de gnomonische azimutale) zijn alle grootcirkels rechten, waarmee rechte lijnen op de kaart ook de kortste weg tussen twee punten aangeven.

Bovenstaande eigenschappen zijn niet allemaal in één enkele projectie te combineren. Hoekgetrouwheid en oppervlaktegetrouwheid gaan bijvoorbeeld nooit samen. Als geen van deze eigenschappen bereikt zijn, zoals bij de Winkel-tripelprojectie, spreekt men van een afylactische projectie.

Projectie vormenBewerken

Externe linkBewerken