Kaartprojectie

afbeelden van een plaats op aarde naar X/Y-coördinaten

Een kaartprojectie is een wiskundige afbeelding die het aardoppervlak (of bijvoorbeeld het oppervlak van een ander hemellichaam) of een deel daarvan over te brengen op een vlakke kaart. Als wordt afgezien van de afplatting van de Aarde, is dit een afbeelding van een boloppervlak of een deel daarvan op een plat vlak.

Projectiekaart uit 1623 van het Noordpoolgebied door Gerard Mercator

In een aantal gevallen correspondeert de afbeelding, afgezien van de schaling naar het formaat van een fysieke kaart op papier of een beeldscherm, met een meetkundige projectie op een ontwikkelbaar oppervlak, en het vervolgens plat leggen daarvan. Dit wordt aangeduid als echte projectie. Voor de meeste kaartprojecties gaat dit echter niet op, ze worden aangeduid als onechte projectie; de term projectie wordt dan in een meer algemene zin gebruikt.

Het is niet mogelijk het aardoppervlak zonder vertekening weer te geven op een plat vlak (het aardoppervlak is zelf geen ontwikkelbaar oppervlak). Er zijn dan ook veel kaartprojecties met verschillende eigenschappen. Afhankelijk van de aan de kaart gestelde eisen en het af te beelden gebied, is een projectie meer of minder geschikt.

Met elke kaartprojectie, inclusief schaal, correspondeert na keuze van een oriëntatie en een oorsprong, een coördinatenstelsel voor de horizontale positie van punten op het betreffende deel van de aarde, namelijk de cartesische coördinaten op de kaart. De vierkante platkaart correspondeert bijvoorbeeld met geografische coördinaten (lengtegraad en breedtegraad), waarbij de keuze van uniforme schaling kan worden uitgedrukt in de afstand die correspondeert met een breedtegraad. Deze laatste verschilt per computerscherm en mate van inzoomen (of hoe groot de kaart op papier is afgedrukt), en kan, afhankelijk van de context, worden gezien als iets dat los staat van de kaartprojectie. Formeel kan een kaartprojectie dan gezien worden als een equivalentieklasse van de betreffende afbeeldingen, waarbij equivalentie van twee afbeeldingen betekent dat de ene een uniforme verschaling is van de andere.

Nationale coördinatensystemen worden op de genoemde wijze gedefinieerd, uitgaande van een kaartprojectie die bij het betreffende land past. De projectie wordt vaak hoekgetrouw gekozen en, met coördinaten in meters, met een schaal die zo goed mogelijk 1:1 benadert. Ook hier wordt zo de uiteindelijke keuze van uniforme schaling bij het bekijken van de kaart gescheiden gehouden van de kaartprojectie.

Meetkundige projectiesBewerken

Een meetkundige kaartprojectie kan men zich voorstellen als een doorzichtig model van een deel van het aardoppervlak (als een dia in de vorm van een deel van een bol), dat op een projectiescherm wordt geprojecteerd. De lichtbron bevindt zich op grote afstand (parallelprojectie) of bijvoorbeeld in het centrum of op het oppervlak van de bol (puntprojectie). Het projectiescherm kan een kegel zijn, of de uitersten daarvan: een cilinder of een plat vlak. Afhankelijk van de plek van de 'lichtbron', de oorsprong van de projectie, en de vorm en positie van het 'projectiescherm' (het kaartbeeld) ontstaan allerlei verschillende soorten projecties met uiteenlopende eigenschappen. Soms wordt een projectie in algemenere zin beschreven in termen van een meetkundige projectie, maar dan met de plek van de 'lichtbron' afhankelijk van het geprojecteerde punt op het aardoppervlak. Bij bijvoorbeeld de orthografische cilinderprojectie is de 'lichtbron' op de cilinderas, maar de positie daarop hangt af van de breedtegraad van het geprojecteerde punt. Fysiek kan men zich dit voorstellen als lampjes op de as die door afscherming alleen in de richtingen loodrecht op de as (rondom) schijnen.

Vorm van de aardeBewerken

De vorm van de aarde heeft een grillig verloop dat ongeschikt is om te dienen als uitgangspunt bij het vervaardigen van een kaart. Om toch een kaart mogelijk te maken, wordt gebruikgemaakt van benaderingen. In toenemende mate van benadering van de werkelijke vorm zijn dit de bol, de omwentelingsellipsoïde en de geoïde. De projectie wordt soms gedefinieerd als een combinatie van twee stappen, de projectie van de geoide op een rekenbol, en een kaartprojectie voor die bol.

BolBewerken

Indien de nauwkeurigheid niet zo groot hoeft te zijn, zoals bij wereldkaarten en andere kaarten op kleine schaal, kan de aarde als bol worden beschouwd. Zoals gezegd zijn deze projecties ook van belang als tweede stap in een meer geavanceerde projectie.

EllipsoïdeBewerken

Isaac Newton berekende reeds in de 17e eeuw op theoretische gronden dat de Aarde als gevolg van de zwaartekracht enerzijds en de middelpuntvliedende kracht anderzijds geen bol is, maar een oblate ellipsoïde met afgeplatte polen. Later werd die afplatting nauwkeurig berekend.

Er zijn verschillende referentie-ellipsoïdes in gebruik die verschillen in vorm, afmetingen, positie, oriëntatie en schaalfactor. Zo zijn oudere ellipsoïdes in gebruik die goed aansluiten bij de lokale geoïde, maar die wereldwijd niet goed bruikbaar zijn. Tegenwoordig zijn ellipsoïdes in gebruik met het massacentrum van de aarde als oorsprong, zoals WGS 84.

GeoïdeBewerken

De vorm van de Aarde wordt benaderd met de geoïde, het vlak op gemiddeld zeeniveau waar dezelfde zwaartekrachtpotentiaal heerst, een equipotentiaalvlak. De geoïde is onregelmatig van vorm, waardoor hier alleen lokaal een eenvoudig wiskundig model voor te maken is. Voor grotere gebieden wordt de geoïde gemodelleerd met polynomen of interpolatie van een regelmatig raster.

Vormen van projectieBewerken

De indeling van meetkundige projecties naar projectieoppervlak (kegelprojectie, cilinderprojectie en projectie op een plat vlak) is in veel gevallen uitbreidbaar naar 'onechte' projecties, doordat die kunnen worden opgevat als verkregen door een meetkundige projectie, met vervolgens verdere bewerkingen om gewenste eigenschappen te krijgen. Nog verdergaande bewerkingen leveren bijvoorbeeld de pseudo-cilindrische oppervlaktegetrouwe sinusoïde projectie en de Robinsonprojectie op. Projecties die bij deze indeling vallen in de categorie "op een plat vlak" zijn meestal azimutale projecties.

De meetkundige projecties worden verder ingedeeld naar de plaats van de oorsprong ('lichtbron'). Het projectieoppervlak wordt in het algemeen ontwikkelbaar gekozen, het kan dan gemakkelijk zonder tweede projectie tot een plat vlak worden gemaakt. Na de keuze voor een projectieoppervlak, kan dit op verschillende manieren tegen (of gedeeltelijk 'in') de rekenbol worden geplaatst, meestal zodanig dat het af te beelden deel van de wereld in het midden van de kaart terechtkomt, waar de vervormingen het kleinst zijn.

Kegelprojectie Cilinderprojectie Azimutale projectie
Projectieoppervlak  
Het projectieoppervlak is een kegelmantel.
 
Het projectieoppervlak is een cilindermantel.
 
Het projectieoppervlak is een plat vlak.
Ligging  
De ligging kan normaal, transversaal of scheef zijn. Bij een normale ligging valt de centrale as samen met de aardas, terwijl deze bij een transversale ligging negentig graden gedraaid ligt ten opzichte van normaal. Een scheve (oblique) ligging valt tussen beide in.
Contact   
Het projectieoppervlak kan het aardoppervlak raken, maar ook snijden. De vervorming is minimaal waar het projectieoppervlak het aardoppervlak raakt. In sommige gevallen geldt dit ook waar het projectieoppervlak het aardoppervlak snijdt. Bij projectie vanuit een punt op een plat vlak is alleen de stand van het vlak van belang: evenwijdige vlakken, mits niet door het punt, geven behoudens de triviale uniforme verschaling hetzelfde resultaat.
Oorsprong
De oorsprong van een meetkundige projectie, het 'lichtpunt', kan op verschillende plaatsen ten opzichte van de rekenbol gekozen worden
    

Bij de gnomonische of centrale projectie ligt de oorsprong van de projectie in het centrum van de rekenbol. Bij de stereografische projectie ligt de oorsprong diametraal tegenover het raakpunt op de andere kant van de rekenbol. Bij orthografische projectie wordt loodrecht op een oppervlak geprojecteerd (bij orthografische cilinderprojectie is daarbij de oorsprong afhankelijk van een van beide coördinaten van het geprojecteerde punt). Bij afbeelding op een plat vlak komt dat overeen met een oorsprong op grote afstand. Bij de perspectiefprojectie ligt de oorsprong buiten de aardbol en wordt het dichtstbijgelegen deel van de bol afgebeeld.

Hoekgetrouwe projecties

Een hoekgetrouwe of conforme kaart laat hoeken intact en beeldt daardoor een kleine vorm op de rekenbol bij benadering gelijkvormig af op de kaart

 

Conforme kegelprojectie van Lambert

 

Normale conforme projectie

 

Stereografische projectie

Oppervlaktegetrouwe projecties

De schaal van de equivalente kaart kan variëren, maar de verhouding van de oppervlakten van twee gebieden op de kaart is gelijk aan de verhouding van hun oppervlakten in werkelijkheid

 

Equivalente kegelprojectie

 

Cilinderprojectie van Lambert

 

Azimutale projectie van Lambert

Equidistante projectie

Op een afstandsgetrouwe of equidistante kaart is de schaal langs bepaalde lijnen onafhankelijk van het punt op zo'n lijn. Deze lijnen kunnen ontspringen aan één punt (radiaal) of parallel langs elkaar liggen. Langs lijnen die uit een ander punt ontspringen respectievelijk die niet parallel lopen geldt die afstandsgetrouwheid niet

 

Equidistante kegelprojectie

 

Kwadratische platkaart

 

Equidistante azimutale projectie

Gewenste eigenschappenBewerken

Door de keuze van bovenstaande parameters en als gevolg van eventuele nabewerkingen krijgt de kaart bepaalde eigenschappen. Gewenste eigenschappen kunnen zijn:

  • hoekgetrouwheid, conformiteit
    hoeken blijven intact, de kaart beeldt daardoor een kleine vorm op de bol bij benadering gelijkvormig af op de kaart;
  • oppervlaktegetrouwheid, equivalentie
    de verhouding van de oppervlakten van twee gebieden op de kaart is gelijk aan de verhouding van hun oppervlakten in werkelijkheid;
  • behoud van kortste weg, gnomonische projectie
    alle grootcirkels zijn op de kaart rechten, rechte lijnen op de kaart geven dus de kortste weg tussen twee punten aan;

Eigenschappen gerelateerd aan bepaalde punten of lijnen:

  • grootcirkels door één bepaald punt vormen rechte lijnen, gecombineerd met hoekgetrouwheid in dit punt, en daarmee richtinggetrouwheid vanuit dit punt
  • (beperkte) afstandsgetrouwheid
    op een afstandsgetrouwe of equidistante kaart is de schaal langs bepaalde lijnen onafhankelijk van het punt op zo'n lijn. Deze lijnen kunnen ontspringen aan één punt (radiaal), twee punten (tweepunts-equidistante projectie) of parallel langs elkaar liggen.
  • de rechten op de kaart corresponderen met vaste kompasrichtingen (deze eigenschap is daarmee gekoppeld aan de aardas, dus gerelateerd aan de keuze van een as door de bol); het zijn loxodromen;
    mercatorprojectie

Sommige projecties corresponderen niet met de hele bol, de gnomonische projectie bijvoorbeeld met hoogstens een halve. Ook zijn er projecties die in theorie een oneindig grote kaart opleveren, waarbij een eindige kaart dus niet de hele bol weergeeft. Ook zijn er kaarten met een extra lange rand, met bijvoorbeeld inkepingen, die een oceaan in twee delen tonen. Als gewenste eigenschap kan dus gelden dat de kaart de hele bol bestrijkt en geen extra randen heeft.

Elk van de bovenstaande eigenschappen is in principe gunstig, maar ze gaan maar zeer beperkt samen. Hoekgetrouwheid en oppervlaktegetrouwheid gaan bijvoorbeeld nooit samen. Als geen van deze eigenschappen bereikt zijn spreekt men van een afylactische projectie. Het gaat dan vaak om een compromis tussen onverenigbare eigenschappen, zoals bij de Winkel-tripelprojectie.

ProjectievormenBewerken

Externe linkBewerken

  Zie de categorie Map projections van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.
Kaartprojecties
hoek-, oppervlakte- en afstandsgetrouw globe
kegelprojecties cilinderprojecties azimutale projecties
hoekgetrouw
of conform
hoekgetrouwe kegelprojectie of lambertprojectie hoekgetrouwe cilinderprojectie
mercator, schuine mercator, transversale mercator, universele transversale mercator
hoekgetrouwe azimutale projectie of stereografische azimutale projectie
oppervlaktegetrouw
of equivalent
oppervlaktegetrouwe kegelprojectie of projectie van Albers
Bonne
oppervlaktegetrouwe cilinderprojectie
orthografische cilinderprojectie of oppervlaktegetrouwe cilinderprojectie van Lambert, Gall-Peters, Behrmann, Hobo-Dyer, Mollweide, sinusoïde, Goode, Eckert II, IV en VI
oppervlaktegetrouwe azimutale projectie of azimutale projectie van Lambert
Aitoff-Hammer
beperkt afstandsgetrouw
of equidistant
afstandsgetrouwe kegelprojectie
polyconische projectie
afstandsgetrouwe cilinderprojectie
kwadratische platkaart, middelbreedtekaart, Cassini
afstandsgetrouwe azimutale projectie
tweepunts-equidistant, Postel
onechte projecties stereografische cilinderprojectie, Miller, Robinson Winkel-tripel, gnomonisch, orthografische azimutaal

Van der Grinten, sinaasappelschil, polyeder, perspectief