Hoofdmenu openen
Zie artikel Voor het taalkundige begrip, zie interpolatie (literatuur)

Interpolatie is het afleiden van nieuwe datapunten binnen het bereik van een verzameling bekende discrete datapunten onder aanname van een zekere relatie tussen die punten. Daarmee is het te onderscheiden van extrapolatie waarbij de onbekende situatie zich buiten het domein van die bekende situaties bevindt. Met andere woorden, interpolatie is het uitbreiden van een reeks getallen met punten die binnen die reeks liggen en extrapolatie is het uitbreiden van een reeks getallen met punten die buiten die reeks liggen.

Bijvoorbeeld: als om 14:00 uur een fietstocht begint en na 2 uur volgens de fietscomputer 40 km is afgelegd, dan is af te leiden dat om 15:00 uur zo'n 20 km was afgelegd. Daarbij is de aanname dat er een constante fietssnelheid was, een eenvoudige relatie tussen verstreken tijd en afgelegde afstand. De schatting voor 15:00 uur is een interpolatie op basis van de bekende start- en finishtijd.

Inhoud

DefinitieBewerken

Meer wiskundig uitgedrukt is een interpolatie in een tweedimensionaal probleem (in een  -assenstelsel) de techniek om een functie te vinden die door een aantal bekende coördinatenparen   gaat, teneinde ook voor een willekeurig ander punt   de bijbehorende  -waarde te kunnen vinden. Bovengenoemde voorwaarde betreffende het domein van de bekende situaties, luidt in deze context:   mag niet kleiner zijn dan de kleinste   uit de verzameling bekende punten, noch groter dan de grootste  .

De eerste en meest wezenlijke stap is het vinden van een functievoorschrift   dat een verband tussen  - en  -waarden legt:

 , waarbij   voor alle  

De triviale tweede stap is het bepalen van de onbekende  -waarde, wat heel eenvoudig kan met:  

Opmerking: Hier wordt gesproken van een functie die exact door alle bekende punten gaat; een goede benadering (of best fit) van die punten is dus niet voldoende.

Lineaire interpolatieBewerken

 
voorbeeld van lineaire interpolatie

De eerder beschreven fietstocht is een voorbeeld van lineaire interpolatie. Daarvoor zijn precies twee bekende punten nodig en is voor elke  -waarde tussen beide uitersten een  -waarde te berekenen met

 

of met dit gelijkwaardige alternatief

 

InterpolatiepolynomenBewerken

Lineaire interpolatie is het eenvoudigste geval van interpoleren met behulp van een polynoom; de polynoom is daarin van de eerste graad. In het algemeen kan men stellen dat men voor   bekende punten een unieke polynoom van de graad   kan vinden die door al deze punten gaat. Als de bekende punten   zijn, met   dan wordt het functievoorschrift van de polynoom:

 

Aangezien   door alle bekende punten gaat, is het volgende stelsel van   vergelijkingen geldig:

 

Om het functievoorschrift eenduidig vast te leggen, dienen de waarden van de coëfficiënten   berekend te worden. Dit zijn   onbekenden die uit een stelsel van   vergelijkingen moeten worden gehaald. Dit probleem is dus in principe oplosbaar.

Voor het lineaire geval is deze werkwijze goed te demonstreren: stel de bekende punten zijn   en  . Het functievoorschrift is van de vorm

 

en het stelsel vergelijkingen voor de bekende punten:

 

De oplossing is:

 
 

Het functievoorschrift luidt dus:

 

wat zoals verwacht precies overeenkomt met de functie uit de vorige paragraaf.

Lagrange-interpolatieBewerken

Afleiding van de lagrange-polynoomBewerken

Hoe meer punten gebruikt worden voor het construeren van een integratiepolynoom, des te ingewikkelder wordt het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden om de coëfficiënten van de polynoom te bepalen. De methode van Lagrange biedt in dergelijke gevallen uitkomst.

Ter herinnering: de functie   moet in de bekende punten voldoen aan

 

Het functievoorschrift van   zou nu ook als volgt geschreven kunnen worden:

 

Hierin zijn   nieuwe functies   geïntroduceerd. Dit lijkt de situatie gecompliceerder te maken, maar deze functies zijn gemakkelijk af te leiden. Wordt de nieuwe formulering voor   namelijk gebruikt in een willekeurige voorwaarde   dan ontstaat:

 

Het moge duidelijk zijn dat   en dat alle andere   om de linker- en rechterkant van het =-teken identiek te houden. Oftewel, voor een zekere   geldt

 

Omdat er   van zulke voorwaarden zijn, kun je ook zeggen:

 

Met andere woorden:   zijn de nulpunten van   Omdat   een  -de-graads polynoom is, is   dat ook. En aangezien er eveneens   bekende nulpunten zijn, is   snel gevonden:

 

waarin   een nog onbekende factor is. Het is echter al duidelijk te zien dat   als   is, ongeacht de waarde van '  Maar wat is de waarde van   dan? Die volgt uit de eerste voorwaarden die aan deze functie werd gesteld, namelijk dat  

 

waaruit volgt dat

 

Dit geeft de lagrange-polynoom, de functie  

 
 

De interpolatieformule van LagrangeBewerken

De belangrijkste vergelijkingen uit voorgaande afleiding zijn:

 

en

 

De samenvoeging hiervan is de interpolatieformule van Lagrange:

 

Een alternatieve en meer bekende schrijfwijze haalt de hulp van een extra functie h(x) erbij:

 
 

Uitwerking voor twee en drie puntenBewerken

Als controle volgt hier de uitwerking voor een geval met twee bekende punten   en  

 

met een handige herschikking van termen krijgt dit een bekender gezicht:

 

De juistheid van de alternatieve formulering van Lagranges formule is voor een interpolatie tussen twee punten   ook snel aangetoond:

 
 
 
 

Voor drie punten   en   nu: