Bol (lichaam)

wiskunde

Een bol is een driedimensionaal lichaam dat uit de punten bestaat die ten hoogste op een bepaalde afstand van een gegeven punt liggen. De gegeven afstand heet de straal en het gegeven punt het middelpunt van de bol. De grootste afstand binnen een bol is het dubbele van de straal, wat de diameter wordt genoemd. Het oppervlak van een bol, de buitenkant, is de sfeer met hetzelfde middelpunt en dezelfde straal als de bol. Een bol in drie dimensies komt overeen met een cirkelschijf in twee dimensies en is het omwentelingslichaam van een cirkelschijf bij rotatie om een middellijn van de cirkelschijf.

Bol
Bol-parameters r (straal) en d (diameter).

DefinitieBewerken

Een bol is de verzameling van alle punten in een driedimensionale euclidische ruimte die ten hoogste op een gegeven afstand   liggen van een gegeven punt  . Het getal   heet de straal van de bol en het punt   het middelpunt van de bol. De bol   met straal   en middelpunt   is

 

De zo gedefinieerde bol wordt wel gesloten bol genoemd, ter onderscheiding van een open bol, waarvan het begrenzende oppervlak niet tot de open bol gerekend wordt.

De eenheidsbol is de bol   met de oorsprong als middelpunt en straal 1.

CoördinatenstelselsBewerken

 
Bol met het cartesisch coördinatenstelsel   en het bolcoördinatenstelsel  .

De dimensies, hoeken en punten van en in een bol of bolvormige lichamen kunnen in verschillende coördinatenstelsels worden uitgedrukt. Voor een bol met straal   worden twee coördinatensystemen veel gebruikt. Hierbij valt de oorsprong van het assenstelsel samenvalt met het middelpunt van de bol.

Cartesische coördinatenBewerken

De cartesische coördinaten   is de basis voor het andere assenstelsel. De volgende vergelijking kan worden gegeven voor het opstellen van een voor een bolvormig lichaam met straal   en middelpunt   in het cartesische coördinatenstelsel:

 .

BolcoördinatenBewerken

De dimensies, hoeken en punten van een bol of bolvormige lichamen worden in de exacte wetenschappen vaak uitgedrukt in bolcoördinaten   welke kunnen worden uitgezet in een 3D-assenstelsel, het bolcoördinatenstelsel. Hier is   weer de straal en zijn   en   hoeken respectievelijk gemeten vanaf de  -as en  -as uit het cartesische coördinatenstelsel. Het verband tussen de cartesische coördinaten   en de bolcoördinaten   wordt gegeven door:

 
 
 

Op de  -as is het stelsel gedegenereerd: voor   doet de hoek   niet ter zake en geldt  . Evenzo: voor   geldt  . Voor   doen de hoeken   en   niet ter zake en geldt  . Het middelpunt van een bol in bolcoördinaten ligt dus op   en in cartesische coördinaten op  .

Andere dimensiesBewerken

In de hogere wiskunde generaliseert men het begrip van een bol en daarvan de rand, dus het boloppervlak, naar willekeurige dimensies. De terminologie is niet eenduidig. In willekeurige dimensies wordt een bol als lichaam ook volle bol of bal genoemd, terwijl het oppervlak, behalve als bol en boloppervlak, ook als sfeer wordt aangeduid. Een open bol of open bal is een volle bol zonder de sfeer.

EigenschappenBewerken

Het volume van een bol met straal   is

 

De oppervlakte van de buitenkant van een bol of sfeer met straal   is de afgeleide van de inhoud naar de straal

 

Dit geldt ook in hogere dimensies en voor de cirkel.

Afleiding van het volumeBewerken

Het volume is de volume-integraal over de punten die voldoen aan:

 

De integraal is het dubbele van de integraal over de bovenste helft, en de integratie over   en   bij een gegeven waarde van   levert de oppervlakte   van de cirkel ter hoogte  , met straal  , dus:

 

Men kan zich dit zo voorstellen dat de bol bestaat uit schijven met dikte   loodrecht op de z-as, met op de hoogte   een straal  , dus een oppervlakte  . Het totaal van deze schijven, de integraal, is het volume.

Een andere voorstelling om het volume te bepalen is om de bol gecentreerd op een tweedimensionaal vlak voor te stellen, met het middelpunt van de bol in de oorsprong van een coördinatenstelsel.

Waar de bol het tweedimensionale vlak snijdt vormt zich een cirkel. Uit de stelling van Pythagoras volgt dat de formule van een cirkel met het middelpunt in de oorsprong:

 

Opgedeeld in verticale schijven dwars op dit tweedimensionale vlak kan de oppervlakte van elk van deze schijven als volgt bepaald worden, aangezien de straal van elke schijf van de bol gelijk is aan de y-coördinaat door bovenstaande functie beschreven.

 

Wat vervolgens voor de gehele bol geïntegreerd kan worden tot het volume ervan:

 

VoorbeeldenBewerken

De bol heeft als eigenschap dat hij van alle mogelijke driedimensionale vormen met dezelfde inhoud de kleinst mogelijke oppervlakte heeft. De bol is anders gezegd het lichaam in drie dimensies met het hoogste isoperimetrische quotiënt. De definite is zo gesteld dat die voor een bol gelijk aan 1 is.

Door het aannemen van deze vorm wordt bijvoorbeeld een minimale energie verkregen uit de oppervlaktespanning. Als gevolg hiervan zijn veel voorwerpen in de natuur bolvormig. Voorbeelden van bolvormen in de natuur zijn:

Perfect bolvormige voorwerpen bestaan niet in de natuur. Zelfs een zwaar hemellichaam zoals de aarde is door de draaiing om zijn as enigszins afgeplat aan de polen. De aarde heeft iets de vorm van een ellipsoïde. De andere planeten en de sterren zijn ook min of meer bolvormig.

Men gebruikt in veel sporten een bolvormig speelobject, een bal.

Licht of geluid afkomstig van een puntbron plant zich in een homogeen medium in alle richtingen even snel voort. Dit duidt men aan met bolvormige uitstraling of bolvormige voortplanting.

Woningen in een bolvorm zijn energiezuiniger omdat ze met hetzelfde woonoppervlak langs minder oppervlak warmte verliezen aan de buitenlucht en de wind krijgt er minder vat op waardoor er nog minder warmte verloren gaat. In de Bossche wijk Maaspoort staan 50 bolwoningen die als sociale huurwoning worden verhuurd, ontworpen door architect Dries Kreijkamp.

Burgemeester Otto von Guericke van Maagdenburg toonde in 1654 met zijn Maagdenburger halve bollen aan, dat een vacuüm bestaat.

  Zie de categorie Spheres van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.