Cilinderprojectie

Een cilinderprojectie is een kaartprojectie die tot stand komt door het aardoppervlak af te beelden op een cilinder die daarna wordt afgerold tot een plat vlak. De kaart is dus rechthoekig met twee tegenover elkaar liggende zijden die op elkaar aansluiten. De andere twee zijden corresponderen met de punten waar de cilinderas het aardoppervlak snijdt. De hele kaart kan wiskundig gezien ook bestaan uit een oneindig lange strook, zodat er gebieden rond de genoemde twee punten zijn die buiten een eindige versie van de kaart vallen.

Constructie van de orthografische cilinderprojectie

stereografische cilinderprojectie

gnomonische cilinderprojectie

De afbeelding van het boloppervlak naar de cilindermantel heeft de bijzondere eigenschap dat de afbeelding dezelfde eigenschappen heeft in alle richtingen vanuit de cilinderas. Meer formeel: als de bol gedraaid wordt om deze as, de afbeelding wordt toegepast en het resultaat over dezelfde hoek wordt teruggedraaid krijgt men hetzelfde als wanneer de afbeelding rechtstreeks wordt toegepast. Ook heeft de afbeelding dezelfde eigenschappen naar beide uiteinden van de cilinderas. Meer formeel: als de bol gespiegeld wordt in een vlak loodrecht op de as, de afbeelding wordt toegepast en het resultaat wordt teruggespiegeld krijgt men hetzelfde als wanneer de afbeelding rechtstreeks wordt toegepast.

De kaart heeft in de richting loodrecht op de cilinderas een grootcirkel in het midden die is weergegeven als rechte lijn, en in de asrichting loodrecht daarop staande halve grootcirkels weergegeven als evenwijdige rechte lijnen.

Meestal neemt men als cilinderas de Aardas, en beeldt men een halfvlak met die as als rand af op de snijlijn van dat halfvlak met de cilinder. De wijze van afbeelden is dan analoog voor elke lengtegraad, en analoog voor het noordelijk en zuidelijk halfrond. Het gevolg is dat op de kaart de parallellen en meridianen elkaar onder rechte hoeken snijden: er ontstaat een graadnet van rechthoeken. Verder staan de meridianen overal op gelijke afstand van elkaar (de lengtegraad is een lineaire schaal), en is elke parallel even ver van de evenaar als de parallel met tegengestelde breedtegraad. De verzamelnaam voor projecties met deze eigenschappen is normale cilinderprojectie / normal cylindrical projection. De linker- en rechterrand van de volledige kaart sluiten op elkaar aan.

De noordzuidschaal is bij elke variant van de normale cilinderprojectie overal op de kaart gelijk, maar de oostwestschaal varieert extreem, want deze gaat bij de polen naar oneindig. Bij een kaart van een beperkt gebied, bijvoorbeeld een land, is deze variatie veel minder, maar nog wel groot vergeleken met projecties waarbij de meridianen in de richting van de dichtstbijzijnde pool dichter bij elkaar komen. Dit kan ook met een cilinderprojectie, maar dan een scheve (zie ook onder).

Er zijn dan nog verschillende manieren om de projectie uit te voeren. De projectie wordt gegeven door $y$ als functie van de geografische breedte $\beta$ (of analoog bij een cilinderas in een andere stand).

Met verder:

• $R$ de straal van de Aarde
• $s$ de schaal in de richting evenwijdig aan de cilinderas

hebben we de volgende cilinderprojecties.

• Echte cilinderprojecties:
  • Oppervlaktegetrouwe cilinderprojectie (orthografische projectie), $y\,=Rs\sin \beta$: men trekt lijnen van de centrale as van de cilinder haaks op die as naar de mantel; de grootte van de cilinder ten opzichte van de bol bepaalt de variant van de projectie.
  • Gnomonische cilinderprojectie, $y\,=Rs\tan \beta$: men trekt lijnen van het middelpunt van de bol naar de mantel van de cilinder. De volledige kaart is oneindig hoog; op een daadwerkelijke kaart ontbreken dus altijd gebieden rond de Noord- en Zuidpool. Gebieden daar dicht bij worden sterk vergroot afgebeeld.
  • Stereografische cilinderprojectie, $y\,=2R\,s\tan {\tfrac {1}{2}}\beta$: men trekt lijnen van een punt op de evenaar aan de andere zijde van de Aarde naar de mantel van de cilinder.
• Onechte cilinderprojecties (geen meetkundige projectie in de strikte zin):
  • Equidistante cilinderprojectie: afstandsgetrouw langs meridianen, $y\,=Rs\beta$. Varianten met behoud van deze afstandsgetrouwheid krijgt men als men de kaart verticaal uitrekt of comprimeert. Men kan zo een breedtegraad kiezen waarop een vierkantje op Aarde een vierkantje op de kaart is. Dat geldt dan ook op de tegengestelde breedtegraad.
  • Mercatorprojectie: hoekgetrouw, $y\,=R\,s\ln \left[\tan \left({\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\beta \right)\right]$. Een vierkantje op Aarde is steeds een vierkantje op de kaart. De volledige kaart is oneindig hoog; op een daadwerkelijke kaart ontbreken dus altijd gebieden rond de Noord- en Zuidpool. De schaal is in elke richting ${\frac {s}{cos\beta }}$.

In de buurt van de grootcirkel in het midden ($\beta =0$) is er bij de juiste schaling tussen de betreffende resultaten grote overeenkomst.

Bij de hoekgetrouwe projectie ligt met $s$ ook de schaal in de dwarsrichting vast, bij de andere projecties is die willekeurig. Deze kan dus zo gekozen worden dat bij een bepaalde $\beta$ de schaal in elke richting gelijk is. Dit geldt dan ook voor de tegengestelde waarde van $\beta .$

Andere oriëntaties

Een voorbeeld van een andere oriëntatie van de cilinder is die met de cilinderas door 0° NB 90° WL en 0° NB 90° OL. We hebben hier te maken met dezelfde drie onderling loodrechte grootcirkels die het aardoppervlak verdelen in 8 gelijke boldriehoeken (volgens het patroon van een octaëder). Deze worden hier net als bij de projectie met de cilinderas door de polen weergegeven als 8 rechthoeken, waarvan steeds één zijde een punt voorstelt. Welke hoek van de boldriehoek als zijde wordt voorgesteld verschilt echter steeds. Daarmee samenhangend worden de overige meridianen (waarvan de helften lopen van een hoekpunt naar de tegenoverliggende zijde van een van de genoemde boldriehoeken) en de parallellen (waarvan de kwarten lopen van een zijde naar een andere zijde van een van de genoemde boldriehoeken) in de projectie met de cilinderas door de polen als rechte lijnen en hier als kromme lijnen voorgesteld. Zie ook het betreffende voorbeeld van de transversale mercatorprojectie.

Bij een kaart van een beperkt gebied, bijvoorbeeld een land, kan de variatie van de schaal beperkt worden door de cilinderas ongeveer evenwijdig aan het betreffende deel van het aardoppervlak te kiezen. Bovendien kunnen dan twee lijnen in plaats van één gekozen worden waar de oostwestschaal gelijk is aan de noordzuidschaal, net als bij een rechte kegelprojectie.

Pseudo-cilindrische projecties

Projecties die gebaseerd zijn op een cilinderprojectie maar daarna verder zijn bewerkt om bepaalde eigenschappen te verkrijgen worden pseudo-cilindrisch genoemd. Voorbeelden:

• Mollweide-projectie
• Projectie van Goode
• Sinusoïde projectie
• Universele transversale mercatorprojectie

Bronnen, noten en/of referenties

Mediabestanden

Zie de categorie Cylindrical projection van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.

Kaartprojecties

hoek-, oppervlakte- en afstandsgetrouw	globe
	kegelprojecties	cilinderprojecties	azimutale projecties
hoekgetrouw of conform	hoekgetrouwe kegelprojectie of lambertprojectie	hoekgetrouwe cilinderprojectie mercator, schuine mercator, transversale mercator, universele transversale mercator	hoekgetrouwe azimutale projectie of stereografische azimutale projectie
oppervlaktegetrouw of equivalent	oppervlaktegetrouwe kegelprojectie of projectie van Albers Bonne	oppervlaktegetrouwe cilinderprojectie orthografische cilinderprojectie of oppervlaktegetrouwe cilinderprojectie van Lambert, Gall-Peters, Behrmann, Hobo-Dyer, Mollweide, sinusoïde, Goode, Eckert II, IV en VI	oppervlaktegetrouwe azimutale projectie of azimutale projectie van Lambert Aitoff-Hammer
beperkt afstandsgetrouw of equidistant	afstandsgetrouwe kegelprojectie polyconische projectie	afstandsgetrouwe cilinderprojectie kwadratische platkaart, middelbreedtekaart, Cassini	afstandsgetrouwe azimutale projectie tweepunts-equidistant, Postel
onechte projecties		stereografische cilinderprojectie, Miller, Robinson	Winkel-tripel, gnomonisch, orthografische azimutaal
	Van der Grinten, sinaasappelschil, polyeder, perspectief, Dymaxion-projectie