Hyperbolische functie

In de wiskunde zijn de hyperbolische functies analogieën van de goniometrische functies. Net als de sinus en de cosinus de coördinaten zijn van een punt op de eenheidscirkel, gegeven door de vergelijking $x^{2}+y^{2}=1$, zo zijn de sinus hyperbolicus en de cosinus hyperbolicus de coördinaten van een punt op de hyperbool, gegeven door de vergelijking $x^{2}-y^{2}=1$.

De hyperbolische functies: sinh, cosh en tanh

Een rechte lijn door de oorsprong snijdt de hyperbool $x^{2}-y^{2}=1$ in het punt $(\cosh A,\sinh A)$, waarin de zogenaamde hyperboolhoek $A$ het oppervlak is tussen de rechte lijn, het spiegelbeeld van de rechte lijn ten opzichte van de $x$-as, en de hyperbool .

De zes belangrijkste hyperbolische functies zijn:

• sinus hyperbolicus (sinh)
• cosinus hyperbolicus (cosh)
• tangens hyperbolicus (tanh)
• cotangens hyperbolicus (coth)
• secans hyperbolicus (sech)
• cosecans hyperbolicus (csch)

Verder hebben hyperbolische en goniometrische functies vergelijkbare somformules en bestaan er inverse hyperbolische functies. De inverse van de sinus hyperbolicus wordt genoteerd als arsinh (lees: areaalsinus hyperbolicus).

Het argument van de hyperbolische functies wordt de hyperboolhoek genoemd.

Definitie

De sinus hyperbolicus (sinh) en cosinus hyperbolicus (cosh) zijn gedefinieerd als:

$\sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

$\cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

In de goniometrie kunnen de tangens, secans, cosecans en cotangens berekend worden uit de cosinus en sinus. Dit gaat bij de hyperbolische functies op dezelfde manier:

${\begin{aligned}\tanh(x)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\\\operatorname {sech} (x)={\frac {1}{\cosh(x)}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}\\\operatorname {csch} (x)={\frac {1}{\sinh(x)}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}\\\coth(x)={\frac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\end{aligned}}$

Toepassingen

• Een flexibel touw dat aan beide uiteinden opgehangen wordt, volgt de vorm van een cosinus hyperbolicus. Deze kromme wordt ook de kettinglijn genoemd.
• Oplossingen van de differentiaalvergelijking $y''=y$ zijn van de vorm $y(x)=C_{1}\cosh(x)+C_{2}\sinh(x)$.

Reeksontwikkelingen

De hyperbolische functies kunnen ook als machtreeks geschreven worden.

${\begin{aligned}\sinh(x)&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cosh(x)&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\\\tanh(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots &&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth(x)&={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\ldots &&={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},&&0<\left|x\right|<\pi \\{\frac {1}{\cosh(x)}}&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\ldots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}\\{\frac {1}{\sinh(x)}}&={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\ldots &&={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},&&0<|x|<\pi \end{aligned}}$

met

$B_{n}$ het n-de Bernoulligetal,

$E_{n}$ het n-de Eulergetal

Inverse functies van de hyperbolische functies

De inverse functies van de hyperbolische functies zijn de areaalfuncties.

Relatie tussen hyperbolische en goniometrische functies

De hyperbolische functies staan in een directe relatie met de overeenkomende goniometrische functies voor complexe argumenten.

${\begin{aligned}\sinh(x)&=&-i&\;\sin(ix)\\\cosh(x)&=&&\;\cos(ix)\\\tanh(x)&=&-i&\;\tan(ix)\\\coth(x)&=&i&\;\cot(ix)\\\operatorname {sech} (x)&=&&\;\operatorname {sec} (ix)\\\operatorname {csch} (x)&=&i&\;\operatorname {csc} (ix)\end{aligned}}$

Daarin is steeds $i$ de imaginaire eenheid.

Eigenschappen

Identiteiten

$\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1\,$

Negatief argument

De cosinus hyperbolicus is een even functie, terwijl de sinus en tangens hyperbolicus oneven functies zijn:

${\begin{aligned}\cosh(-x)&=&\cosh(x)\\\sinh(-x)&=-&\sinh(x)\\\tanh(-x)&=-&\tanh(x)\end{aligned}}$

Somformules

$\sinh(x+y)=\sinh(x)\cdot \cosh(y)+\cosh(x)\cdot \sinh(y)\,$

$\cosh(x+y)=\cosh(x)\cdot \cosh(y)+\sinh(x)\cdot \sinh(y)\,$

$\tanh(x+y)={\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\cdot \tanh(y)}}$

$\sinh(2x)=2\sinh(x)\cdot \cosh(x)\,$

$\cosh(2x)=\cosh ^{2}(x)+\sinh ^{2}(x)=2\cosh ^{2}(x)-1=2\sinh ^{2}(x)+1\,$

$\cosh(x)+\sinh(x)=e^{x}\,$

$\cosh(x)-\sinh(x)=e^{-x}\,$

Afgeleiden

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh(x)=\sinh(x)$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh(x)=\cosh(x)$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth(x)={\frac {-1}{\sinh ^{2}(x)}}$

Omrekentabel

Functie	$\sinh$	$\cosh$	$\tanh$	$\coth$
$\sinh(x)=$		$\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}$	${\frac {\tanh(x)}{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}$	${\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}$
$\cosh(x)=$	$\,{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}$		$\,{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}$	$\,{\frac {\left|\coth(x)\right|}{\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}$
$\tanh(x)=$	$\,{\frac {\sinh(x)}{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}}$	$\,\operatorname {sgn}(x){\frac {\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}{\cosh(x)}}$		$\,{\frac {1}{\coth(x)}}$
$\coth(x)=$	$\,{\frac {\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}{\sinh(x)}}$	$\,\operatorname {sgn}(x){\frac {\cosh(x)}{\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}}$	$\,{\frac {1}{\tanh(x)}}$

NB: $\operatorname {sgn} (x)$ is het teken van x.

Wiskundige functies