Hoofdmenu openen
De hyperbool als kegelsnede, hier getekend met een strikt verticaal snijvlak

In de meetkunde is een hyperbool een kegelsnede (die dus wordt gevormd door beide helften van een dubbele kegel met een vlak te snijden) die bestaat uit twee krommen. Deze worden de takken van de hyperbool genoemd.

De hyperbool werd ontdekt door de Griekse wiskundige Menaechmus. De benaming 'hyperbool' stamt van Apollonius van Perga en komt uit het Oud-Grieks: ὑπερβολή, hyperbolé, overtreffing, overdrijving van ὑπερ, hyper, over, en βάλλειν, bállein, werpen, en verwijst naar de overdrijving, de "overdreven worp" van de snijhoek (of numerieke excentriciteit , zie onder) in de kegelsnede. Met toenemende snijhoek verandert de cirkel () eerst in steeds langwerpiger ellipsen en tenslotte via de parabool () in een hyperbool ().[1]

DefinitiesBewerken

Definitie uitgaande van de brandpuntenBewerken

 
Hyperbool in het rood waarin   (zie 'Vergelijkingen') gelijk is aan 8. De waarde voor   is gelijk aan 2, het afstandsverschil is  

Men kan een hyperbool ook beschrijven als alle punten waarvoor het verschil van de afstanden   en   tot twee gekozen punten, de brandpunten, een constante waarde   heeft. Een hyperbool bestaat daarom uit twee takken.

Hoofdas en nevenasBewerken

Een hyperbool heeft twee assen: de lijn door de twee brandpunten van de hyperbool heet de hoofdas en de lijn loodrecht daarop midden tussen de brandpunten (en midden tussen de takken van de hyperbool) heet de nevenas.

De assenrechthoek van een hyperbool is de rechthoek waarvan twee zijden raken aan de toppen van de takken van de hyperbool, en de hoekpunten op de asymptoten liggen. De diagonalen liggen op de asymptoten. De lengte van de diagonalen is gelijk aan de afstand tussen de brandpunten van de hyperbool.[2]

Definitie uitgaande van brandpunt en richtcirkelBewerken

Als twee cirkels gegeven zijn met gelijke straal, kleiner dan de afstand van de middelpunten, dan vormen de beide conflictlijnen van de ene cirkel met het middelpunt van de andere cirkel een hyperbool. De middelpunten van de cirkels zijn de brandpunten; de cirkels worden richtcirkels genoemd. De conflictlijn bestaat uit alle punten waarvan de afstand tot de richtcirkel gelijk is aan de afstand tot het middelpunt van de andere richtcirkel.

Definitie uitgaande van brandpunt en richtlijnBewerken

Een hyperbool is de meetkundige plaats van de punten in het platte vlak waarbij de verhouding van de afstand tot een willekeurig punt, brandpunt geheten, tot de afstand tot een willekeurige rechte, richtlijn geheten, constant is. Deze constante verhouding heet de excentriciteit   van de hyperbool. Voor een hyperbool is  . Met elk brandpunt correspondeert een richtlijn. De twee combinaties van een brandpunt en de bijbehorende (dichtbijzijnde) richtlijn leveren elk de complete hyperbool op.

Voor   wordt de figuur een parabool en voor   een ellips.

De richtlijnen staan loodrecht op de hoofdas, op een afstand van   van de nevenas. De afstand van de hyperbool tot de dichtstbijzijnde richtlijn is  , dit is voor   ongeveer gelijk aan  . De afstand van het betreffende brandpunt tot de hyperbool is dan ook ongeveer hieraan gelijk. Als   van boven naar 1 nadert en   gelijk gehouden wordt, en   dus naar oneindig nadert, nadert de betreffende hyperbooltak in de buurt van het betreffende brandpunt en de betreffende richtlijn tot een parabool, met als as de hoofdas van de hyperbool. De nevenas en de andere tak verdwijnen, gezien vanuit de betreffende omgeving, naar het oneindige, de parabool heeft maar één as en één tak. De hoek tussen de asymptoten (met het hoekpunt ook steeds verder weg) gaat naar nul.

VergelijkingenBewerken

MiddelpuntsvergelijkingBewerken

De punten   op een hyperbool met het centrum in de oorsprong en waarvan de brandpunten in   en   liggen, voldoen aan:

 ;

daarin is:

 

Verderop wordt een afleiding van deze vergelijking gegeven.

De hyperbool snijdt de x-as in de punten   en  , en voor de afstanden   en   van een punt op de hyperbool tot de brandpunten geldt:

 

Anders dan bij een ellips kan   groter zijn dan  .

ParametervergelijkingBewerken

Een hyperbool wordt, bij geschikte keuze van het assenstelsel, beschreven door de volgende parametervergelijking:

 
 ,

waarbij gebruikgemaakt wordt van de hyperbolische functies (let op de naam!).

PoolvergelijkingBewerken

Er zijn meer definities in poolcoördinaten mogelijk:

 

EigenschappenBewerken

De hyperbool met vergelijking

 

convergeert voor grote waarden van   en   naar het lijnenpaar:

 

die de asymptoten van de hyperbool zijn.

Aangetoond kan worden dat de snijpunten van de hyperbool met de x-as altijd binnen het interval   zullen liggen. Naarmate de snijpunten meer in de richting van de brandpunten komen, zal de hyperbool sterker gekromd zijn. De verticale lijn door de oorsprong is een speciaal geval, de hyperbool heet ontaard. De twee takken van de hyperbool vallen hier samen, omdat het verschil in afstand precies gelijk is aan 0.

Een speciaal geval treedt op als  . De asymptoten zijn dan gelijk aan de diagonalen van het xy-vlak. Als het coördinatenstelsel 45° gedraaid wordt, zijn in het nieuwe stelsel de oude x- en y-as de asymptoten. In dit nieuwe coördinaten-stelsel   is de hyperbool dan te beschrijven als de omgekeerde functie

 

Twee hyperbolen snijden elkaar in maximaal vier punten.

Zijn   en   de brandpunten van een hyperbool en   een punt op de hyperbool, dan heten de lijnen   en   de brandpuntsvoerstralen van het punt  . De bissectrices van de brandpuntsvoerstalen zijn de normaal en de raaklijn aan de hyperbool in punt  .

Gelijkzijdige hyperboolBewerken

Een hyperbool waarvan de asymptoten elkaar loodrecht snijden heet een gelijkzijdige hyperbool, orthogonale hyperbool of rechthoekige hyperbool. Elke hyperbool die door de punten van een hoogtepuntssysteem gaat is een gelijkzijdige hyperbool.

Neem nu aan dat de asymptoten evenwijdig lopen aan de horizontale en verticale as.   is de vergelijking van de ene asymptoot en   van de andere. Dan is   het snijpunt van de 2 asymptoten. Hiermee kunnen we de hyperbool als volgt afleiden: de verticale asymptoot wordt gevonden als   tot   nadert en   oneindig groot wordt.

 

Hiermee hebben we dus een hyperbool gevonden met de juiste verticale asymptoot. Hoe krijgen we een formule die ook nog de juiste horizontale asymptoot heeft? Als   tot   nadert, wordt   oneindig groot.   wordt oneindig.

 

Wat gebeurt er met  ? Deze blijft altijd  , ongeacht welk getal we voor   kiezen. Maar wat als we deze samenvoegen met onze eerder gevonden formule?

 

Als  , dan geldt er dat   oneindig groot is. De   valt te verwaarlozen, omdat deze ontzettend klein is in vergelijking met de oneindig grote  . Je krijgt dan  . Dit klopt!

Als  , dan geldt er dat   oneindig groot is, omdat   precies 0 is. (Iets delen door 0 nadert oneindig).

Dus, als je 2 asymptoten hebt met snijpunt   dan vinden we de volgende formule met de bijbehorende hyperbool:

 

Afleiden van de middelpuntsvergelijkingBewerken

 
Hyperbool
 
 
 

StellingBewerken

Een hyperbool met

voldoet aan de vergelijking:

 

Dit is de middelpuntsvergelijking van de hyperbool.

SymbolenBewerken

Waar eerst   en   werden gebruikt, worden hier   en   gebruikt.

symbool omschrijving
  een willekeurige hyperbool in het platte vlak
 ,   de brandpunten van  
 


• een orthogonaal assenstelsel
• met als oorsprong   het midden van het lijnstuk  
• de  -as wijst van   naar  
  brandpuntsafstand van  , per definitie de afstand tussen   en  
  een willekeurig punt van  
  de  -coördinaat van  
  de  -coördinaat van  
  de lengte van de voerstraal van   vanuit  
  de lengte van de voerstraal van   vanuit  
  de lengte van de hoofdas van  
  de lengte van de nevenas van  

Afleiden   en   als lineaire functies van  Bewerken

stap maak gebruik van er geldt dan
  definitie hyperbool      
  stelling van Pythagoras  
  stelling van Pythagoras  
     
   merkwaardig product  
          
         
      ( )
       ( )

s.8 en s.9 gelden samen.

Afleiden kwadratisch verband tussen   en  Bewerken

stap maak gebruik van er geldt dan
     
    • merkwaardig product  
     
    • merkwaardig product  
     
     
  betrekking tussen brandpuntsafstand, hoofdas en nevenas      
         
       

Nu is aangetoond dat als een punt   op de hyperbool ligt, de coördinaten   van   voldoen aan de vergelijking  .

Omgekeerd kan men aantonen dat als de coördinaten   van een willekeurig punt   voldoen aan die vergelijking,   op die hyperbool ligt.

Dus is   de vergelijking van een hyperbool.

ReferentiesBewerken

  1. I. N. Bronstein, KA Semendjajew, Günter Grosche, Eberhard Zeidler: Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Teubner, Stuttgart 1996, ISBN 3-8154-2001-6, p.24
  2. http://www.projectx2002.org/Wiskunde/Zesdes/Cursus%20Analytische%20Meetkunde%20(basiskegelsneden).pdf