Areaalfunctie

(Doorverwezen vanaf Areaalfuncties)

De areaalfuncties zijn de inverse functies van de hyperbolische functies. De aanduiding 'areaal' in areaalfunctie refereert aan de betekenis van deze functies als oppervlakte.

Benaming en notatieBewerken

 
Een punt op de standaard hyperbool bepaalt een wigvorming gebied waarvan de oppervlakte gelijk is aan de inverse van de cosinus hyperbolicus en van de sinus hyperbolicus

De standaardhyperbool

 

kan in parametervorm, met   als parameter, geschreven worden door

 
 

Voor de parameterwaarde   is de oppervlakte van het blauwe gebied in nevenstaande figuur juist gelijk aan  . Het bijbehorende punt op de hyperbool is  , zodat

 
 

De inverse functies van de cosinus- en de sinus hyperbolicus

 
 

geven dus als resultaat een oppervlakte, een 'areaal', dat overeenkomt met de blauw gekleurde punt. Vandaar dat deze inverse functies areaalfuncties genoemd worden. Naast het prefix "ar" wordt, naar analogie met de arcsinus e.d., ook "arc" (arcsinus hyperbolicus, arcsinh) gebruikt. Soms ziet men ook het prefix arg, dat staat voor argument of eenvoudigweg a, als in  .

Expliciete formulesBewerken

 
Links: rood: arsinh(x) is een oneven functie die loopt van linksonder tot rechtsboven, blauw: arcosh(x), een functie die enkel bestaat voor x groter of gelijk aan 1. Midden: rood: atanh(x), het gedeelte op het interval −1,1, blauw: arcth(x), de twee gedeelten buiten het interval [−1,1]. Rechts: rood: arsech(x, van het punt (1,0) naar de y-as, blauw: arcsch(x), een functie met oneven symmtrie

De zes areaalfuncties kunnen uitgedrukt worden in eenvoudige formules met behulp van de natuurlijke logaritme.

Areaalsinus hyperbolicusBewerken

 

Areaalcosinus hyperbolicusBewerken

 

Areaaltangens hyperbolicusBewerken

 

Areaalcotangens hyperbolicusBewerken

 

Areaalsecans hyperbolicusBewerken

 

Areaalcosecans hyperbolicusBewerken

 

EigenschappenBewerken

IdentiteitenBewerken

 
 

AfgeleidenBewerken

 
 
 
 
 
 

IntegralenBewerken

De integralen van de areaalfuncties kunnen alle berekend worden met partiële integratie.

 
 
 
 
 
 

Som- en verschilformulesBewerken

 
 
 
 
 
 

Onderlinge relatiesBewerken

Bij het gebruik van deze uitdrukkingen moet rekening gehouden worden met de eventuele beperkingen op het domein van deze functies.

 
 
 
 
 
 

ReeksontwikkelingenBewerken

Enkel de areaalsinus hyperbolicus en de areaaltangens hyperbolicus kunnen probleemloos rond x= 0 worden ontwikkeld. De reeksen zijn dan:

 
 

Een andere reeksontwikkeling is:

 

SamenstellingenBewerken

Samenstellingen van hyperbolische en areaalfuncties leveren irrationale functievoorschriften:

 
 
 
 
 
 

LimietenBewerken

Twee standaardlimieten die areaalfuncties bevatten zijn:

 
 

Beide volgen uit de soortgelijke limiet voor de overeenstemmende hyperbolische functie, door middel van een eenvoudige substitutie.

Externe linkBewerken

  • Wolfram Mathworld: De pagina over de areaalfuncties op de website van Wolfram Mathworld bevat doorverwijzingen ('see also') naar gedetailleerde informatie over de individuele areaalfuncties, met onder andere de reeksontwikkelingen.