Centrum (groepentheorie)

groepentheorie

In de abstracte algebra is het centrum van een groep de verzameling van elementen in die commuteren met alle andere elementen van :

.

Het centrum is een ondergroep van , want

  1. is niet leeg omdat voor het eenheidsselement van geldt: voor alle , dus
  2. is gesloten onder de bewerking, omdat voor alle geldt: voor alle
  3. Van elke is ook de inverse , omdat voor alle .

Verder is een abelse ondergroep van , een normaaldeler van en zelfs een strikte karakteristieke ondergroep van , maar niet altijd volledig karakteristiek. Het centrum van een groep is ook de doorsnede van de centralisators van alle elementen van de groep.

Het centrum van is gelijk aan dan en slechts dan als een abelse groep is. Het andere uiterste is het als het centrum van triviaal is, dat wil zeggen alleen uit het eenheidselement bestaat. heet dan centrumloos. Het centrum is een begrip dat in de algebra meer algemeen voorkomt, voor meer structuren, maar de definitie komt steeds overeen met de hier gegeven definitie voor groepen.

ConjugatieBewerken

Voor elk element   is er een speciaal automorfisme   van  , gedefinieerd door:

 .

De elementen   en   zijn elkaars geconjugeerden. Een element   dat met   commuteert, wordt door   op zichzelf afgebeeld.

Van het groepshomomorfisme   van   naar de groep van automorfismen van  , gedefinieerd door

 

is de kern precies het centrum   van  , en is het beeld de groep van inwendige automorfismen van  , genoteerd als  . Als gevolg van de eerste isomorfismestelling geldt:

 .

De cokern van deze afbeelding is de groep   van uitwendige automorfismen, en deze vormen de exacte rij:

 

VoorbeeldenBewerken

  • Het centrum van de groep   van inverteerbare  -matrices over het lichaam/veld   is de collectie van scalaire matrices  .
  • Het centrum van de orthogonale groep   is  .
  • Het centrum van de quaternionengroep   is  .
  • Het centrum van de multiplicatieve groep van niet-nulzijnde quaternionen is de multiplicatieve groep van de niet-nulzijnde reële getallen.
  • Niet-abelse enkelvoudige groepen hebben geen centrum.

Hogere centraBewerken

Als men het centrum van een groep wegdeelt, ontstaat een opeenvolging van factorgroepen, die men de hogere centrale rij noemt.

 

De kern van de afbeelding   heet het  -de centrum van  , aangegeven door  . De definitie van deze rij kan door transfiniete inductie naar de transfiniete ordinalen worden doorgevoerd. De vereniging van alle hogere centra van een groep wordt het hypercentrum genoemd.[1]

De stijgende keten van subgroepen

 

wordt stabiel bij de index  , d.w.z.  ) dan en slechts dan als   centrumloos is.

Volgens het lemma van Grün is de factorgroep   van een perfecte groep   en   centrumloos, waardoor men kan stellen dat alle hogere centra   gelijk zijn aan  . Dit is een geval van stabilisatie op  .

ReferentiesBewerken

  1. Deze vereniging zal transfiniete termen inhouden, als de hogere centrale rij niet stabiliseert tijdens een eindige stap.