Orthogonale groep

In de wiskunde is de orthogonale groep van graad over een lichaam (Ned) / veld (Be) , genoteerd als , de groep van isometrieën in de -dimensionale ruimte die de oorsprong vast houden.

De orthogonale groep komt overeen met de groep van orthogonale -matrices met elementen uit men als groepsbewerking de matrixvermenigvuldiging. Dit is een ondergroep van de algemene lineaire groep bepaald door

waarin de getransponeerde van is. De klassieke orthogonale groep over de reële getallen wordt meestal als geschreven.

Meer in het algemeen is de orthogonale groep van een niet-singuliere kwadratische vorm over de groep van matrices die deze kwadratische vorm bewaart. De stelling van Cartan-Dieudonné beschrijft de wiskundige structuur van de orthogonale groep.

Elke orthogonale matrix heeft een determinant die of gelijk is aan 1 of gelijk is aan −1. De orthogonale -matrices met determinant 1 vormen een normaaldeler van , die bekendstaat als de speciale orthogonale groep . Als de karakteristiek van gelijk is aan 2, geldt dat 1 = −1, en vallen en dus samen, anders is de nevenklasse van in gelijk aan 2. In karakteristiek 2 en met even dimensie definiëren vele auteurs alternatief als de kern van de Dickson-invariant; dan heeft deze kern meestal de index 2 in .

Zowel als zijn algebraïsche groepen, omdat de voorwaarde dat een matrix orthogonaal moet zijn, dat wil zeggen dat een matrix zijn eigen getransponeerde als inverse moet hebben, kan worden uitgedrukt als een verzameling van polynomiale vergelijkingen in de elementen van de matrix.

Externe linksBewerken