In de lineaire algebra is de inverse matrix, of kort de inverse, van een vierkante matrix het inverse element van die matrix met betrekking tot de bewerking matrixvermenigvuldiging. Niet iedere matrix heeft een inverse. Een matrix heeft alleen een inverse als de determinant van de matrix ongelijk is aan 0. Als de inverse bestaat heet de matrix inverteerbaar. De inverse van de inverteerbare matrix , genoteerd als , is ook een vierkante matrix van dezelfde dimensie als , die zowel links als rechts met vermenigvuldigd de eenheidsmatrix oplevert.

Als van een stelsel vergelijkingen de inverse van bekend is, kan voor wisselende waarden van de vector , de vector worden berekend. De oplossing is .

DefinitieBewerken

Een  -matrix   heet inverteerbaar, als er een  -matrix   bestaat zodanig dat

 

Hierin is   de eenheidsmatrix van orde  , ook wel aangeduid met  . De matrix   heet de inverse van   en wordt aangeduid met  .

Een inverteerbare matrix wordt ook regulier genoemd en een niet-inverteerbare singulier.

EigenschappenBewerken

  • Uniciteit: De inverse is eenduidig bepaald. Stel namelijk dat de  -matrix   ook een inverse is van  . Dan is
 
  • Als   inverteerbaar is, is ook   inverteerbaar en
 
  • Als   en   beide inverteerbare  -matrices zijn, is ook hun product   inverteerbaar en
 
  • Als   inverteerbaar is, en   is een reëel getal verschillend van 0, dan
 
  • De getransponeerde matrix   van een inverteerbare matrix  , is ook inverteerbaar en
 

InverteerbaarheidBewerken

Voor een  -matrix   zijn de volgende uitspraken equivalent:

  •   is inverteerbaar
  • er is een  -matrix   zodat  
  • er is een  -matrix   zodat  
  • de determinant van   is verschillend van 0
  • de vergelijking   heeft als enige oplossing  
  • de vergelijking   heeft precies één oplossing voor elke  
  •   is inverteerbaar
  • de kolommen van   zijn lineair onafhankelijk
  • de rijen van   zijn lineair onafhankelijk
  • de rang van   is  
  • de echelonvorm van   is de eenheidsmatrix
  • alle eigenwaarden van   zijn verschillend van nul
  • de lineaire operator horende bij   is inverteerbaar
  • de lineaire operator horende bij   is injectief, surjectief, of beide.

InverterenBewerken

Het daadwerkelijk berekenen van de inverse van een matrix is vaak een bewerkelijke opgave met veel numerieke moeilijkheden. Dat komt doordat de betrokken matrices meestal grote afmetingen hebben. Er is veel onderzoek gedaan, zowel theoretisch als praktisch, naar het ontwikkelen van algoritmen om een matrix te inverteren.

De inverse van de vierkante matrix   kan berekend worden met de formule

 

Hierin is   de determinant van   en   de geadjugeerde van  .

Voorbeeld 1Bewerken

De 2×2-matrix   is inverteerbaar als de determinant van   ongelijk is aan 0:  . De inverse van   wordt dan gegeven door:

 

Matrix 'vegen'Bewerken

De toepassing van deze formule vergt echter meestal veel rekenwerk.

Een van de numerieke methoden voor het bepalen van de inverse van een inverteerbare matrix   is door middel van Gauss-eliminatie de uitgebreide matrix   te herleiden tot  .

Voorbeeld 2Bewerken

Inverteer:

 

Vorm de uitgebreide matrix

 

Vegen:

Trek 2 keer de eerste rij af van de beide andere:

 

Verwissel de 2e en de 3e rij:

 

Deel de 2e rij door –3:

 

Trek 2 keer de 2e rij af van de 1ste:

 

De inverse is dus:

 

Niet-vierkante matricesBewerken

Voor een niet-vierkante matrix   kan zowel voor rechts- als voor linksvermenigvuldiging een aparte matrix bestaan die bij de vermenigvuldiging met   een eenheidsmatrix oplevert. Zulke matrices worden niet als inverse matrix beschouwd. Men gebruikt echter wel de termen linksinverse en rechtsinverse zonder dat het om een inverse matrix gaat.