Normaaldeler

In de wiskundige groepentheorie is een normaaldeler of normale ondergroep een ondergroep $H$ van een groep $G$, waarvan de nevenklassen met elkaar weer een nieuwe groep vormen. Het is kenmerkend voor een normaaldeler dat de linker- en de rechternevenklassen ervan samenvallen. De nevenklassen van de normaaldeler $H$ vormen een partitie (disjuncte opdeling) van de groep $G$. De nieuw gecreëerde groep is gedefinieerd als de factorgroep $G/H$ van $G$ en $H$.

Definitie

Zij $(G,\cdot )$ een groep, en $D$ een ondergroep van $G$. Men zegt dat $D$ een normaaldeler is van $G$ als voor alle elementen $g\in G$ en $d\in D$ geldt

$g^{-1}\cdot d\cdot g\in D$

Men noteert dit vaak als:

$D\triangleleft G$

Men schrijft ook wel

$g^{-1}\cdot D\cdot g\subset D,$

waarin

$g^{-1}\cdot D\cdot g=\left\{g^{-1}\cdot d\cdot g\mid d\in D\right\}$

Voorbeelden

Van een abelse groep is elke deelgroep normaal, want

$g^{-1}\cdot d\cdot g=g^{-1}\cdot g\cdot d=e\cdot d=d$.

Algemener is het centrum $Z(G)$ van een groep $G$, dat zijn de elementen die met ieder ander element commuteren, een normaaldeler van $G$. Ook elke ondergroep van $Z(G)$ is normaal in $G$.

In de permutatiegroep op een eindige verzameling met $n$ elementen vormen de even permutaties een normaaldeler, de zogenaamde alternerende groep ${\mathcal {A}}_{n}$. Voor $n=3$ is dit bijvoorbeeld de groep met de identiteit en (123) en (132).

De kern van een homomorfisme van groepen is gedefinieerd als het inverse beeld van het neutraal element. Het is steeds een normaaldeler.

In de groep $GL(n,K)$ van de inverteerbare $n\times n$-matrices over een lichaam $K$, is de speciale lineaire groep $SL(n,K)$ van de matrices met determinant 1 een normaaldeler. Dit is eigenlijk een bijzonder geval van een hogergenoemde regel, want de determinant-afbeelding kan worden opgevat als een groepshomomorfisme.

In de euclidische groep $E(n)$ van isometrieën is de groep van alle translaties een normaaldeler. Bij $n=2$ is in een isometriegroep met geen andere translaties dan veelvouden van een bepaalde translatievector, de groep van deze translaties een normaaldeler. Afhankelijk van de strookpatroongroep (subcategorie van isometriegroepen van deze categorie) waaronder deze isometriegroep valt, zijn er 1, 2 of 4 equivalentieklassen.

In een isometriegroep van een euclidische ruimte met niet alleen directe isometrieën is de ondergroep van directe isometrieën een normaaldeler met een factorgroep van twee elementen, de verzameling directe isometrieën en de verzameling indirecte isometrieën.

Tegenvoorbeelden

In de permutatiegroep ${\mathcal {S}}_{3}$ is de ondergroep $\left\{{\hbox{id}},(12)\right\}$ (de cyclische ondergroep van twee elementen, voortgebracht door de verwisseling van 1 en 2) geen normaaldeler, omdat $(13)(12)(13)=(23)$

De alternerende groep ${\mathcal {A}}_{5}$ heet enkelvoudig (of "simpel") omdat hij geen enkele echte normaaldeler heeft (geen normaaldelers behalve de triviale groep en zichzelf).

In de Lie-groep $SO(3)$ der rotaties in $\mathbb {R} ^{3}$ vormen de rotaties om de $z$-as een ondergroep die niet normaal is. De Lie-groep $SO(3)$ is enkelvoudig, omdat hij geen echte Lie-ondergroepen heeft die normaal zijn.

Normalisator

De normalisator van een ondergroep $D$ van de groep $G$ is gedefinieerd als

$N(D)=\{g\in G\mid g\cdot D=D\cdot g\}$

Het is de grootste ondergroep van $G$ waarin $D$ nog normaal is.