In de wiskundige groepentheorie is een normaaldeler of normale ondergroep een ondergroep van een groep , waarvan de nevenklassen met elkaar weer een nieuwe groep vormen. Het is kenmerkend voor een normaaldeler dat de linker- en de rechternevenklassen ervan samenvallen. De nevenklassen van de normaaldeler vormen een partitie, dus een disjuncte opdeling, van de groep . De nieuw gecreëerde groep is gedefinieerd als de factorgroep van en .

Definitie

bewerken

Zij   een groep en   een ondergroep van  . Men zegt dat   een normaaldeler is van   als voor alle elementen   en   geldt

 

Men noteert dit vaak als:

 

Men schrijft ook wel

 ,

waarin

 

Voorbeelden

bewerken

Van een abelse groep is elke ondergroep normaal, want

 .

Algemener is het centrum   van een groep  , dat zijn de elementen die met alle andere elementen van   commutatief zijn, een normaaldeler van  . Iedere ondergroep van   is ook normaal in  .

In de symmetrische groep   op een eindige verzameling met   elementen is de alternerende groep   een normaaldeler. Voor   is dit bijvoorbeeld de groep met de identiteit en (123) en (132). De factorgroep  , de cyclische groep van twee elementen.

De kern van een homomorfisme van groepen is gedefinieerd als het inverse beeld van het neutrale element. Het is steeds een normaaldeler.

In de groep   van de inverteerbare n × n-matrices over een lichaam  , is de speciale lineaire groep   van de vierkante matrices met determinant 1 een normaaldeler. Dit is een bijzonder geval van een hogergenoemde regel, want de determinant kan als een groepshomomorfisme worden opgevat.

In de euclidische groep   van isometrieën is de groep van alle translaties een normaaldeler. Bij   is in een isometriegroep met geen andere translaties dan veelvouden van een bepaalde translatievector, de groep van deze translaties een normaaldeler. Afhankelijk van de strookpatroongroep, waaronder deze isometriegroep valt, zijn er 1, 2 of 4 equivalentieklassen. De ondergroep van directe isometrieën is in een isometriegroep van een euclidische ruimte met niet alleen directe isometrieën een normaaldeler met een factorgroep van twee elementen. De factorgroep bestaat uit de directe isometrieën en de indirecte isometrieën.

Tegenvoorbeelden

bewerken

In de permutatiegroep   is de ondergroep  , de cyclische ondergroep van twee elementen, waarvan de verwisseling van 1 en 2 het enige element van de genererende verzameling is, geen normaaldeler, omdat  .

De alternerende groep   heet enkelvoudig, omdat   geen enkele echte normaaldeler heeft, dus geen normaaldelers behalve de triviale groep en zichzelf.

In de lie-groep   van de rotaties in   vormen de rotaties om de  -as een ondergroep die geen normaaldeler is. De lie-groep   is enkelvoudig, omdat   geen echte lie-ondergroepen heeft die een normaaldeler zijn.

Normalisator

bewerken

De normalisator van een ondergroep   van de groep   is gedefinieerd als

 

Het is de grootste ondergroep van   waarin   nog normaal is.