Normaaldeler

In de wiskundige groepentheorie is een normaaldeler of normale ondergroep een ondergroep van een groep , waarvan de nevenklassen met elkaar weer een nieuwe groep vormen. Het is kenmerkend voor een normaaldeler dat de linker- en de rechternevenklassen ervan samenvallen. De nevenklassen van de normaaldeler vormen een partitie (disjuncte opdeling) van de groep . De nieuw gecreëerde groep is gedefinieerd als de factorgroep van en .

DefinitieBewerken

Zij   een groep, en   een ondergroep van  . Men zegt dat   een normaaldeler is van   als voor alle elementen   en   geldt

 

Men noteert dit vaak als:

 

Men schrijft ook wel

 

waarin

 

VoorbeeldenBewerken

Van een abelse groep is elke deelgroep normaal, want

 .

Algemener is het centrum   van een groep  , dat zijn de elementen die met ieder ander element commuteren, een normaaldeler van  . Ook elke ondergroep van   is normaal in  .

In de permutatiegroep op een eindige verzameling met   elementen vormen de even permutaties een normaaldeler, de zogenaamde alternerende groep  . Voor   is dit bijvoorbeeld de groep met de identiteit en (123) en {132).

De kern van een homomorfisme van groepen is gedefinieerd als het inverse beeld van het neutraal element. Het is steeds een normaaldeler.

In de groep   van de inverteerbare  -matrices over een lichaam  , is de speciale lineaire groep   van de matrices met determinant 1 een normaaldeler. Dit is eigenlijk een bijzonder geval van een hogergenoemde regel, want de determinant-afbeelding kan worden opgevat als een groepshomomorfisme.

In de euclidische groep   van isometrieën is de groep van alle translaties een normaaldeler. Bij   is in een isometriegroep met geen andere translaties dan veelvouden van een bepaalde translatievector, de groep van deze translaties een normaaldeler. Afhankelijk van de strookpatroongroep (subcategorie van isometriegroepen van deze categorie) waaronder deze isometriegroep valt, zijn er 1, 2 of 4 equivalentieklassen.

In een isometriegroep van een euclidische ruimte met niet alleen directe isometrieën is de ondergroep van directe isometrieën een normaaldeler met een factorgroep van twee elementen, de verzameling directe isometrieën en de verzameling indirecte isometrieën.

TegenvoorbeeldenBewerken

In de permutatiegroep   is de ondergroep   (de cyclische ondergroep van twee elementen, voortgebracht door de verwisseling van 1 en 2) geen normaaldeler, omdat  

De alternerende groep   heet enkelvoudig (of "simpel") omdat hij geen enkele echte normaaldeler heeft (geen normaaldelers behalve de triviale groep en zichzelf).

In de Lie-groep   der rotaties in   vormen de rotaties om de  -as een ondergroep die niet normaal is. De Lie-groep   is enkelvoudig, omdat hij geen echte Lie-ondergroepen heeft die normaal zijn.

NormalisatorBewerken

De normalisator van een ondergroep   van de groep   is gedefinieerd als

 

Het is de grootste ondergroep van   waarin   nog normaal is.