Normaaldeler

In de wiskundige groepentheorie is een normaaldeler of normale ondergroep een ondergroep van een groep , waarvan de nevenklassen met elkaar weer een nieuwe groep vormen. Het is kenmerkend voor een normaaldeler dat de linker- en de rechternevenklassen ervan samenvallen. Van de normaaldeler vormen de nevenklassen een partitie (disjuncte opdeling) van de groep . De nieuw gecreëerde groep is gedefinieerd als de factorgroep van en .

DefinitieBewerken

Zij   een groep, en   een ondergroep van  . Men zegt dat   een normaaldeler is van   als voor alle elementen   en   geldt

 

Men noteert dit vaak als:

 

Men schrijft ook wel

 

waarin

 

VoorbeeldenBewerken

Van een abelse groep is elke deelgroep normaal, want

 .

Algemener is het centrum   van een groep  , dat zijn de elementen die met ieder ander element commuteren, een normaaldeler van  . Ook elke ondergroep van   is normaal in  .

In de permutatiegroep op een eindige verzameling met   elementen vormen de even permutaties een normaaldeler, de zogenaamde alternerende groep  .

De kern van een homomorfisme van groepen is gedefinieerd als het inverse beeld van het neutraal element. Het is steeds een normaaldeler.

In de permutatiegroep   is de ondergroep   (de cyclische ondergroep van twee elementen, voortgebracht door de verwisseling van 1 en 2) geen normaaldeler, omdat  

De alternerende groep   heet enkelvoudig (of "simpel") omdat hij geen enkele echte normaaldeler heeft (geen normaaldelers behalve de triviale groep en zichzelf).

In de Lie-groep   der rotaties in   vormen de rotaties om de  -as een ondergroep die niet normaal is. De Lie-groep   is enkelvoudig, omdat hij geen echte Lie-ondergroepen heeft die normaal zijn.

In de groep   van de inverteerbare  -matrices over een lichaam  , is de Speciale lineaire groep   van de matrices met determinant 1 een normaaldeler. Dit is eigenlijk een bijzonder geval van een hogergenoemde regel, want de determinant-afbeelding kan worden opgevat als een groepshomomorfisme.

NormalisatorBewerken

De normalisator van een ondergroep   van de groep   is gedefinieerd als

 

Het is de grootste ondergroep van   waarin   nog normaal is.