Conjugatie (groepentheorie)

groepentheorie

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de relatie geconjugeerde een equivalentierelatie op een groep, die de groep ontbindt in conjugatieklassen. De elementen van een conjugatieklasse hebben zo veel overeenkomsten, dat een nadere bestudering van deze conjugatieklassen belangrijke inzichten in de structuur van de niet-abelse groepen oplevert. Bij abelse groepen zijn conjugatieklassen van ondergeschikt belang, omdat elk element een eigen conjugatieklasse vormt.

DefinitieBewerken

In de groep   heet het element   geconjugeerd met het element   als er een element   is zodanig dat

 

Twee ondergroepen van een groep heten geconjugeerd als er een groepsisomorfisme tussen hen bestaat. Zo zijn de meetkundige symmetriegroepen van een star lichaam voor en na verplaatsing en/of draaiing geconjugeerd. De symmetrie-eigenschappen van het object zelf worden gerepresenteerd door de conjugatieklasse.

EquivalentierelatieBewerken

De relatie geconjugeerd is een equivalentierelatie, immers:

  • (Reflexiviteit) Elke   is geconjugeerd met zichzelf
  • (Symmetrie) Als   geconjugeerd is met   ( ), is ook   geconjugeerd met   ( ).
  • (Transitiviteit) Als   geconjugeerd met   ( ) en   is geconjugeerd is met   ( ), is ook   geconjugeerd met   ( ).

VoorbeeldBewerken

De symmetrische groep  , die bestaat uit 24 permutaties van 4 elementen, heeft 5 conjugatieklassen. In cykelnotatie zijn de conjugatieklassen:

  • de identieke (1 element):  
  • paarverwisseling, transpositie (6 elementen):  
  • drie verwisselen (8 elementen):  
  • vier verwisselen (6 elementen):  
  • twee keer twee verwisselen (3 elementen):  

Aantal conjugatieklassen in de symmetrische groep, en aantal elementen per conjugatieklasseBewerken

Het aantal conjugatieklassen in de symmetrische groep   is gelijk aan de partitiefunctie van  .

Als van een conjugatieklasse elementen die op zichzelf worden afgebeeld, worden geteld als cykel van lengte 1, dan is het aantal elementen van die conjugatieklasse

 ,

waarin   het aantal cykels is met lengte  , en   het aantal verschillende lengtes van de cykels.

Dit is als volgt te beredeneren. Per conjugatieklasse kan iedere rij van   verschillende elementen (waarvan er   zijn) opgedeeld worden overeenkomstig die conjugatieklasse, bijvoorbeeld bij de klasse "twee verwisselen" van   door de eerste twee elementen van de rij te bestemmen voor de verwisseling. De factor   compenseert voor dubbeltelling van verwisselde even lange cykels, en de factor   voor dubbeltelling van cyclische verwisseling van de elementen in een cykel.

Bijvoorbeeld heeft bij de symmetrische groep   de conjugatiegroep waarbij twee elementen verwisseld worden (en twee dus niet)   elementen.

Zie ookBewerken