Puntgroep

Een puntgroep met betrekking tot de oorsprong van een euclidische ruimte is een isometriegroep waarvan alle isometrieën de oorsprong als dekpunt hebben. Het is dus een ondergroep van de orthogonale groep. Puntgroepen met betrekking tot de oorsprong zijn van belang als mogelijke symmetriegroep van een figuur in de betreffende ruimte. Het zijn voorbeelden van de in de wiskunde gedefinieerde groepen. De naam puntgroep slaat op het symmetriepunt.

Puntgroepen worden in de scheikunde gebruikt in de theorie van de chemische binding. De kristallografie beschrijft de kristalstructuur van verschillende materialen en maakt daarvoor gebruik van de röntgenkristallografie en de spectroscopie. De kristalstructuur wordt onder andere met behulp van puntgroepen beschreven. Puntgroepen kunnen op verschillende manieren worden weergegeven, bijvoorbeeld met een grafisch programma.[1] Ze beschrijven de symmetrie van een molecuul. Sommige moleculen hebben zo'n symmetriepunt en dit maakt dat puntgroepen in de scheikunde veel toepassing vinden. Translaties van het molecuul blijven daarbij dus buiten beschouwing. Onder andere is het chirale karakter van een molecuul of molecuulfragment gerelateerd aan de puntgroep.

Puntgroepen worden vooral binnen de kristallografie gebruikt, dus in drie dimensies. Het is mogelijk ze op dezelfde manier voor twee dimensies te definiëren als dat voor drie dimensies is gedaan. De bewerkingen in de puntgroep in twee dimensies, van een rozet, kunnen alleen de rotatie om een punt en de spiegeling zijn. Hoewel in drie dimensies alle bewerkingen uit de rotaties om een omwentelingsas en de spiegeling kunnen worden samengesteld, worden er in drie dimensies meestal vijf bewerkingen onderscheiden, die een meetkundige figuur op zichzelf afbeelden.

De symmetrie-bewerkingen binnen één puntgroep kunnen wiskundig één-eenduidig met orthogonale matrices worden beschreven, waarbij de bijbehorende matrixvermenigvuldiging is gedefinieerd als het na elkaar uitvoeren van twee symmetriebewerkingen. Dit heeft tot gevolg dat de matrix-representaties van alle symmetriebewerkingen in een puntgroep een matrixgroep vormen, waarop de representatietheorie van toepassing is. De representatietheorie maakt veelvuldig gebruik van de indeling in nevenklassen en daarnaast ook van de correlatie tussen een groep en zijn ondergroepen. De ondergroepen hebben een lagere symmetrie dan de groep zelf. Behalve een indeling van een puntgroep in ondergroepen, kent men ook een indeling in conjugatieklassen.

BegrippenBewerken

Er zijn vier puntsymmetrie-bewerkingen, met de identiteit meegeteld, vijf:

  1. Spiegeling in een vlak, symbool σ.
  2. Rotatie om een as, om een lijn, symbool Cn. De C staat voor cyclisch, deze staan model voor de cyclische groepen.
  3. Inversie door een punt, symbool i. Het inversiepunt is altijd ook het symmetriepunt, het moleculaire centrum. De combinatie rotatie en inversie levert een spiegeling op:  .
  4. Draaispiegeling samengesteld uit een rotatie om een as plus een spiegeling in een vlak loodrecht op die as, symbool  , met  .
  5. Identieke afbeelding in de ruimte, symbool E.

Twee keer vlakspiegeling of twee keer puntspiegeling komt weer uit bij de beginsituatie:  . De index n bij   en   geeft het aantal rotaties aan dat nodig is om weer uit te komen bij de beginsituatie:  . Theoretisch kan n ieder natuurlijk getal zijn, het aantal puntgroepen is dus oneindig, maar in de meeste toepassingen is n niet groter dan 8 à 12.

De puntsymmetrie-elementen zijn:

  1. Het spiegelvlak, symbool σ met horizontaal: σh, verticaal: σv en diagonaal: σd
  2. De rotatieas, symbool Cn
  3. Het inversiepunt, symbool i
  4. De draaispiegelingsas, symbool Sn.

De puntsymmetrieelementen van een object of molecuul bepalen welke puntsymmetriebewerkingen mogelijk zijn. Een puntgroep als verzameling van bewerkingen wordt daarom bepaald aan de hand van de puntsymmetrieelementen. De puntsymmetrieelementen en de daarbij voorkomende bewerkingen worden gewoonlijk met dezelfde symbolen aangegeven, eventueel met een subscript als nadere precisering.

De puntgroepen kunnen globaal aan de hand van het aantal rotatieassen worden ingedeeld:

  • De niet-axiale groepen, dat wil zeggen dat er onder de puntsymmetrieelementen geen rotatieas as voorkomt: C1 bij E, Ci bij i en Cs bij σ.
  • De groepen met één hoofdas: Cn bij eigenlijke rotatie, S2n bij oneigenlijke rotatie en Cnv, Cnh bij rotatie en vlakspiegeling.
  • De groepen met één hoofdas en n nevenassen: Dn zonder spiegelvlakken en Dnd, Dnh met spiegelvlakken erbij. Dit zijn dihedrale groepen
  • De groepen met drie of meer hoofdassen: de kubische groepen T, Th, Td, O en Oh en de icosahedrale groepen I en Ih. De subscripten verwijzen ook hier naar spiegelvlakken.
  • De groepen voor lineaire symmetrie: C∞v, D∞h en voor bolsymmetrie: R3. Dit zijn oneindige groepen.
  • Daarnaast nog een aantal dubbelgroepen. Deze worden gevormd door als extra operator nog tijdsinversie (spininversie) toe te voegen. Dubbelgroepen zijn vooral nuttig bij het beschrijven van overgangsmetaalcomplexen.
De hoofdas wordt altijd als z-as gedefinieerd: h voor horizontaal duidt dan op het xy vlak, v voor verticaal duidt op de xiz vlakken en d voor diagonaal op de vlakken diagonaal tussen xiz en xi+1z.

Voorbeeld D4hBewerken

De groepselementen van een puntgroep zijn niet de symmetrie-elementen, maar de symmetrie-operatoren.

Nemen we als voorbeeld D4h, een dihedrale groep, de puntgroep in de driedimensionale ruimte van een vierkant, dat per definitie in het horizontale xy-vlak ligt.

De puntgroep D4h wordt door een verzameling van zes symmetrie-elementen bepaald: één verticale C4-as, langs de z-as, vier horizontale C2-assen, dit zijn de twee C2,-assen langs x-as en y-as en de twee C2,,-assen diagonaal tussen x- en y-as, en het σh-vlak, het xy-vlak. De twee C2,-assen kunnen door C4 in elkaar worden overgevoerd, zo ook de twee C2,,-assen. Het resultaat is een minimale verzameling van vier onafhankelijke symmetrie-elementen. De vier bijbehorende symmetrieoperatoren, C4 , C2, , C2,, en σh vormen de genererende verzameling van de D4h -groep, dat is: deze minimale verzameling van vier symmetrie-operatoren genereert de volledige verzameling van 16 symmetrie-operatoren van de D4h groep: E, C4, C42=C2 (z), C43, C2, (x) C2, (y), 2 C2,,, beide diagonaal tussen x en y, i, S4, S43, σh, 2 σv, 2 σd. Korter genoteerd:

D4h: E, 2 C4, C2, 2 C2,, 2 C2,,, i, 2 S4, σh, 2 σv, 2 σd.

De D4h-groep bezit dus 16 groepselementen, in de taal van de groepentheorie: de orde van de D4h-groep is 16. Dit is de groepsorde, te onderscheiden van de orde van de afzonderlijke elementen.

C4 is een element van de orde 4, het genereert een cyclische ondergroep van de orde 4: C4, C42(=C2), C43 en C44(=E). Dit is de groep C4, te onderscheiden van het element C4 dat de groep genereert, net zoals C43. S4 is ook een element van de orde 4 en genereert de cyclische ondergroep S4 ook, net zoals S43. Het element E is van de orde 1 en genereert de triviale ondergroep C1. De andere elementen van de D4h-groep zijn van de orde 2, zij genereren de cyclische ondergroepen C2, Ci=S2 of Cs=Ch, die groepen van de orde 2 zijn.

Deze cyclische groepen zijn niet de enige ondergroepen van D4h. Andere ondergroepen worden gevormd door twee of meer genererende elementen. D4h heeft bijvoorbeeld als niet-cyclische ondergroepen van de orde 8: D4, C4h, C4v, D2d en D2h en als niet-cyclische ondergroepen van de orde 4: D2, C2v en C2h.

Puntgroepen in de kristallografieBewerken

Een kristal kan worden gezien als opgebouwd uit eenheidscellen, die in een rooster zijn gestapeld volgens een bepaalde translatiesymmetrie. De puntsymmetrie van de eenheidscel moet verenigbaar, compatibel, zijn met de translatiesymmetrie van het rooster. De combinatie, in de driedimensionale Euclidische ruimte, van de translatiesymmetrie-elementen met de compatibele puntsymmetrieelementen levert de kristallografische ruimtegroepen op, daarvan zijn er precies 230.

Terwijl er oneindig veel puntgroepen zijn, zijn maar weinig puntgroepen compatibel met de translatiesymmetrie van een kristal. Een 5-tallige, 7-tallige of hogere as bestaat niet in kristallen, omdat daarmee de ruimte niet kan worden gevuld. Een rooster opgebouwd door een onbepaald aantal translaties kan alleen de volgende rotatieassen bevatten: C1, C2, C3, C4 en C6. Daarnaast kan nog een inversiecentrum i als onafhankelijk puntsymmetrieelement aanwezig zijn. Bedenk daarbij dat oneigenlijke rotaties en spiegelvlakken worden gegenereerd door combinaties van eigenlijke rotaties en inversie.

Een eerste selectie aan de hand van deze symmetriebewerkingen als genererende elementen geeft de volgende puntgroepen: Cn , Sn[2] , Cnv , Cnh , Dn , Dnh , Dnd, voor n=1,2,3,4 of 6, en de kubische puntgroepen T, Td, Th, O en Oh. Zo genoteerd, zitten bij deze 40 groepen echter dubbeltellingen en uitsluitingen. Dubbel geteld zijn er 6: C1v ≡ C1h , D1 ≡ C2 , D1h ≡ C2v , D1d ≡ C2h , S1 ≡ C1h en S3 ≡ C3h, in de tabel is steeds een van beide in grijs aangegeven. D4d en D6d moeten worden uitgesloten, in de tabel in rood aangegeven, omdat deze twee groepen de uitgesloten S8 respectievelijk S12 bevatten. S8 en S12 zijn in de tabel 'De belangrijkste puntgroepen, hun groepselementen gegroepeerd in conjugatieklassen en hun subgroepen' vet aangegeven. Er blijven precies 32 puntgroepen over die compatibel zijn met translatiesymmetrie en de ruimtegroepen, dit zijn de 32 kristallografische puntgroepen. De systematiek ervan is in onderstaande tabel samengevat:

De 32 kristallografische puntgroepen
in geel
kubisch T Td Th O Oh
n 1 2 3 4 6
Cn C1 C2 C3 C4 C6
Cnv C1v=C1h C2v C3v C4v C6v
Cnh C1h C2h C3h C4h C6h
Dn D1=C2 D2 D3 D4 D6
Dnh D1h=C2v D2h D3h D4h D6h
Dnd D1d=C2h D2d D3d D4d D6d
Sn S1=C1h S2 S3=C3h S4 S6

Kristallografische puntgroepen, internationale notatieBewerken

De Schoenflies notatie is geschikt voor alle puntgroepen, maar niet geschikt voor ruimtegroepen. Arthur Moritz Schoenflies 1853-1928 kwam uit Duitsland en heeft een belangrijke bijdrage geleverd aan de toepassing van de groepentheorie op de kristallografie. Kristallograaf Carl Hermann uit Duitsland en mineraloog Charles-Victor Mauguin uit Frankrijk hebben beide een notatie bedacht, die tegelijk kan worden toegepast op de 3-dimensionale ruimtegroepen en op de 32 kristallografische puntgroepen. Deze notatie wordt de Internationale notatie of Hermann-Mauguinnotatie genoemd. Hoewel de Internationale notatie niet geldt voor alle puntgroepen, heeft zij in de kristallografie de voorkeur over de Schönflies notatie omdat het een gemakkelijke notatie voor translatiesymmetrie elementen biedt en omdat het bovendien de richtingen van de symmetrie-assen aangeeft.

De toepassing van de Internationale notatie blijft hier tot de puntgroepen beperkt. Net als de Schönflies notatie baseert de Internationale notatie zich op de symmetrie-elementen. Bij de classificatie voor oneigenlijke rotaties wordt in de Internationale notatie het inversie-element i gebruikt, in de Schönflies notatie wordt het reflectie-element met een σ wordt aangegeven. Met de gegeven systematiek voor het vaststellen van de 32 kristallografische is ook de systematiek van de Hermann–Mauguin notatie voor puntgroepen goed duidelijk te maken.

  • De symbolen voor eigenlijke rotaties worden verkort tot cijfers, dus C1, C2, C3, C4 en C6 worden weergegeven als 1, 2, 3, 4 en 6.
  • De symbolen voor oneigenlijke rotaties, hier dus rotaties met inversie, hebben een streep boven de cijfers, dus C1i, C2i, C3i, C4i en C6i worden weergegeven als 1, 2, 3, 4, 6. Merk hier dus op: C1ii, dus 1 ≡ Ci, zo ook C2i ≡ σ en 2 ≡ Cs. Op dezelfde wijze vindt men 3 ≡ S6, 4 ≡ S4 en 6 ≡ S3.
  • Het symbool voor spiegeling is in Internationale notatie m. Let hier op: omdat Cs2 het symbool m krijgt, vervalt het symbool 2.
    • Als het spiegelvlak de n-voudige eigenlijke rotatieas bevat, in Schönflies is dit σv of σd, is het samengestelde symbool nm, met n=1,2,3,4 of 6.
    • Als het het spiegelvlak loodrecht op de n-voudige eigenlijke rotatieas staat, in Schönflies is dit σh, is het samengestelde symbool  , met n=1,2,3,4 of 6.

Als extra regel geldt dat men met het minimale aantal symbolen volstaat, dit betekent voor de niet-cyclische groepen dat men zich beperkt tot de genererende elementen. Dus bijvoorbeeld C3v met symmetrie-elementen C3 en 3σv wordt in Internationale notatie niet 3mmm, maar 3m , en D3 met C3 en 3C2 wordt niet 3222 maar 32. Als er echter onafhankelijke assen of vlakken zijn, kunnen de symbolen wel twee of drie keer voorkomen. Zo wordt de groep D2 met drie onafhankelijke C2 assen aangegeven met 222. Een bijzonder geval is D3h, men is geneigd die groep te schrijven als  , maar dan is er overtolligheid, en dit is vereenvoudigd tot mmm. De groep T met meervoudige 2- en 3-tallige assen is 23 geworden en niet 32, want 32 is de groep D3. De 3-tallige as komt ook bij de andere kubische groepen op de tweede plaats.

Het bepalen van de puntgroepBewerken

De Schoenflies notatie is gevolgd, die in de scheikunde het meeste wordt gebruikt en die voor alle puntgroepen bruikbaar is. De Schoenfliessymbolen krijgen in het geval van dubbelgroepen een * of een ' als superscript, we laten dit hieronder verder buiten beschouwing. In de kristallografie gebruikt men een andere puntgroepnotatie, de Internationale of Hermann-Mauguin notatie, die alleen op de verzameling van kristallografische puntgroepen van toepassing is.

  • Lineair ? ja
    • inversie ja? → D∞h
    • inversie nee? → C∞v

  • Lineair ? nee →
    • 2 of meer Cn, n ≥ 3 ? ja
      • → inversie ? ja → C5 ? ja → Ih
      • → inversie ? ja → C5 ? nee → Oh
      • → inversie ? nee → Td

  • Lineair ? nee → 2 of meer Cn, n ≥ 3 ? nee → Cn ? ja.
    • Kies Cn met grootste n → nC2 loodrecht op Cn ? ja
      • σh ? ja → Dnh
      • σh ? nee → nσd ? ja → Dnd
      • σh ? nee → nσd ? nee → Dn

  • Lineair ? nee → 2 of meer Cn, n ≥ 3 ? nee → Cn ? ja
    • Kies Cn met grootste n: nC2 loodrecht Cn met grootste n ? nee, geen
      • σh ? ja → Cnh
      • σh ? nee → σv ? ja → Cnv
      • σh ? nee → σv ? nee → S2n ? ja → S2n
      • σh ? nee → σv ? nee → S2n ? nee → Cn
Nota bene: als men uitkomt bij Cn of Cnv, moet men controleren op de aanwezigheid van een S2n-as. De S2n-as wordt zichtbaar door het object of molecuul te projecteren langs de Cn-as. Is er zo'n S2n-as, dan geldt Cn → S2n en Cnv → Dnd.

  • Lineair ? nee → 2 of meer Cn, n ≥ 3 ? nee → Cn ? nee
    • σ ? ja → Cs
    • σ ? nee → i ja ? → Ci
    • σ ? nee → i nee ? → C1

TabellenBewerken

De 32 kristallografische puntgroepen in Schönflies notatie en in Internationale notatie.
Schoenflies symbool Internationaal symbool
C1 1
Ci 1
C2 2
Cs m
C2h  
D2 222
C2v mm (mm2)
D2h mmm
C4 4
S4 4
C4h  
D4 422
C4v 4mm
D2d 42m (4m2)
D4h  
C3 3
S6 3
D3 32
C3v 3m
D3d 3m
C6 6
C3h 6
C6h  
D6 622
C6v 6mm
D3h 6m2 (62m)
D6h  
T 23
Th m3 (m3)
O 432
Td 43m
Oh m3m (m3m)

De kristallografische puntgroepen van de roosterpunten moeten compatibel zijn met de symmetrie van het Bravaisrooster waarvan de roosterpunten een onderdeel zijn. Er zijn puntgroepen die daar nooit aan voldoen. De belangrijkste puntgroepen, kristallografische en overige, staan in de volgende tabel.

De belangrijkste puntgroepen, hun groepselementen gegroepeerd in conjugatieklassen en hun ondergroepen
puntgroep

(Schoenflies notatie)

orde van

de groep

elementen van de groep = symmetrieoperatoren

(gegroepeerd naar conjugatieklassen)

ondergroepen

(symmetrie-verlaging)

C1 1 E
Cs = S1 2 E, σ
Ci = S2 2 E, i
C2 2 E, C2
C3 3 E, C3, C32
C4 4 E, C4, C2, C42 C2
C5 5 E, C5, C52, C53, C54
C6 6 E, C6, C3, C2, C32, C65 C3, C2
C7 7 E, C7, C72, C73, C74, C75, C76
C8 8 E, C8, C4, C2, C43, C83, C85, C87 C4, C2
D2 4 E, C2(z), C2(y), C2(x) C2 (3 x)
D3 6 E, 2C3, 3C2 C3, C2
D4 8 E, 2C4, C2(=C42) 2C2,, 2C2,, C4, C2 (3 x)
D5 10 E, 2C5, 2C52, 5C2 C5, C2
D6 12 E, 2C6, 2C3, C2, 3C2,, 3C2,, C6, D3 (2 x), D2, C3, C2 (3 x)
C2v = D1h 4 E, C2, σv(xz), σv(x,z) C2, Cs (2 x)
C3v 6 E, 2C3, 3σv C3, Cs
C4v 8 E, 2C4, C2, 2σv, 2σd C4, C2v (2 x), C2, C2d (2 x)
C5v 10 E, 2C5, 2C52, 5σv C5, Cs
C6v 12 E, 2C6, 2C3, C2, 3σv, 3σd C6, C3v (2 x), C2v, C3, C2, Cs (2 x)
C2h = D1d 4 E, C2, i, σh C2, Ci, Cs
C3h = S3 6 E, C3, C32, σh, S3, S35 C3, Cs
C4h 8 E, C4, C2, C43, i, S43, σh, S4 C4, S4, C2h, C2, Ci, Cs
C5h 10 E, C5, C52, C53, C54, σh, S5, S57, S53, S59 C5, Cs
C6h 12 E, C6, C3, C2, C32, C65, i, S35, S65, σh, S6, S3 C6, C3h, S6, C2h, C3, C2, Ci, Cs
D2h 8 E, C2(z), C2(y) C2(x), i, σh (xy), σv(xz), σv(yz) D2, C2v (3 x), C2h (3 x), C2 (3 x), Cs (3 x)
D3h 12 E, 2C3, 3C2, σh, 2S3, 3σv C3h, D3, C3v, C2v, C3, C2, Cs (2 x)
D4h 16 E, 2C4, C2, 2C2,, 2C2,,, i, 2S4, σh, 2σv, 2σd D4, D2d (2 x), C4v, C4h, D2h (2 x), C4, S4,

D2 (2 x), C2v (4 x), C2h (3 x), C2 (3 x), Ci, Cs (3 x)

D5h 20 E, 2C5, 2C52, 5C2, σh, 2S5, 2S53, 5σv D5, C5v, C5h, C5, C2v, C2, Cs (2 x)
D6h 24 E, 2C6, 2C3, C2 3C2,, 3C2,,, i, 2S3, 2S6, σh, 3σv, 3σd D6, D3h (2 x), C6v, C6h, D3d (2 x), D2h, C6, C3h, D3 (2 x),

C3v (2 x), S6, D2, C2v (2 x), C2h (3 x), C3, C2 (3 x), Ci, Cs (3 x)

D8h 32 E, 2C8, 2C83, 2C4, C2, 4C2,, 4C2,,, i, 2S8, 2S83, 2S4, σh, 4σd, 4σv onder andere D8, C8, S8, C8h, C8v, D4h en hun ondergroepen
D2d 8 E, 2S4, C2, 2C2,, 2σd S4, D2, C2v, C2 (2 x), Cs
D3d 12 E, 2C3, 3C2, i, 2S6, 3σd D3, C3v, S6, C3, C2h, C2, Ci, Cs
D4d 16 E, 2S8, 2C4, 2S83, C2, 4C2,, 4σd D4, C4v, S8, C4, C2v, C2 (2 x), Cs
D5d 20 E, 2C5, 2C52, 5C2, i, 2S103, 2S10, 5σd D5, C5v, C5, C2, Ci, Cs
D6d 24 E, 2S12, 2C6, 2S4, 2C3, 2S125, C2, 6C2,, 6σd D6, C6v, S12, C6, D2d, D3, C3v, D2, C2v, S4, C3, C2 (2 x), Cs
S4 4 E, S4, C2, S43 C2
S6 6 E, C3, C32, i, S65, S6 C3, Ci
S8 8 E, S8, C4, S83, C2, S85, C43, S87 C4, C2
T 12 E, 4C3, 4C32, 3C2 D2, C3, C2
Th 24 E, E, 4C3, 4C32, 3C2, i, 4S6, 4S65, 3σh T, D2h, S6, D2, C2v, C2h, C3, C2, Ci, Cs
Td 24 E, 8C3, 3C2, 6S4, 6σd T, D2d, C3v, S4, D2, C2v, C3, C2, Cs
O 24 E, 6C4, 3C2(=C42), 8C3, 6C2 T, D4, D3, C4, D2 (2 x), C3, C2 (2 x)
Oh 48 E, 8C3, 6C2, 6C4, 3C2(=C42), i, 6S4, 8S6, 3σh, 6σd O, Td, Th, T, D4h, D4, D3d, D2d, C4h, C4v, D2h (2 x), D3, C3v, S6,

C4, S4, C2v (3 x), D2 (2 x), C2h (2 x), C3, C2 (2 x), S2, Ci, Cs

I 60 E, 12C5, 12C52, 20C3, 15C2 D5, C5, D3, C3, C2
Ih 120 E, 12C5, 12C52, 20C3, 15C2, i, 12S10, 12S63, 20S6, 15σ onder andere I, S10, D5h, C5v, D3h en hun ondergroepen
C∞v, lineaire groep zonder i E, 2C (en ∞ hieruit gegenereerde operatoren), ∞σv onder andere Cnv en hun ondergroepen
D∞h, lineaire groep met i E, 2C (en ∞ hieruit gegenereerde operatoren), ∞σv

i, 2S (en ∞ hieruit gegenereerde operatoren), ∞C2

C∞v, en onder andere Dnh en hun ondergroepen
R3, volle rotatiegroep. ∞C, ∞σ, i Onder andere O, D4, D3 en hun ondergroepen