Spiegeling (meetkunde)

meetkunde

De spiegeling is een afbeelding uit de meetkunde. In de wiskunde is het een voorbeeld van een affiene transformatie. Het beeld van een voorwerp V onder de spiegeling heet het spiegelbeeld van V. Links en rechts draaien onder de spiegeling om. Men zegt dat de oriëntatie van het voorwerp van teken wisselt.

Spiegeling van een driehoek om een lijn in het platte vlak

Spiegeling in een -dimensionale ruimte gebeurt met een -dimensionale deelruimte als spiegel. Dus in het platte vlak spiegelt men in een lijn (de spiegellijn), deze spiegeling wordt wel lijnspiegeling genoemd, en in de ruimte spiegelt men in een vlak (het spiegelvlak), deze spiegeling wordt wel vlakspiegeling genoemd.

Met een vlakke spiegel kan men de spiegeling van een figuur (tot aan de spiegel) of voorwerp daadwerkelijk zien. Een formele spiegeling van een voorwerp heeft echter ook betrekking op inwendige, onzichtbare delen.

DefinitieBewerken

Noem   het spiegelbeeld van een punt   in de spiegel  . Om een punt   te spiegelen zoekt men allereerst het punt   op de spiegel dat de loodrechte projectie van   op de spiegel is. Vervolgens trekt men het lijnstuk   nog een keer door aan de andere kant van de spiegel om te eindigen in het beeld  .   is het punt waarvoor geldt:

 ,

met   de afstand.

EigenschappenBewerken

  • Voor een punt   op de spiegel geldt  .
  • Voor alle punten geldt  .
  • Een figuur wordt afgebeeld op een congruente figuur.

De positie loodrecht op de spiegel wordt dus veranderd in de tegengestelde positie, maar de positie (een-, respectievelijk tweedimensionaal) evenwijdig eraan verandert niet.

De afbeelding van het vlak naar het vlak en van de ruimte naar de ruimte zijn indirecte isometrieën.

Een spiegeling van een spiegeling is een directe isometrie. Bij niet-evenwijdige spiegels is het een rotatie (2D-rotatie of 3D rotatie) ten opzichte van het snijpunt of de snijlijn van de spiegels, over een hoek die het dubbele is van de gerichte hoek van de eerste naar de tweede spiegel. Een rotatie gevolgd door een spiegeling komt overeen met dezelfde spiegeling gevolgd door de inverse rotatie, en ook met alleen een spiegeling met de spiegellijn of het spiegelvlak over de halve hoek ten opzichte van hetzelfde rotatiepunt of dezelfde rotatie-as geroteerd. Bij evenwijdige spiegels is het een translatie loodrecht op de spiegels, over een afstand die het dubbele is van die tussen de spiegels, in de richting zoals die van de eerste naar de tweede spiegel. Een translatie gevolgd door een spiegeling met een spiegel loodrecht op de translatierichting komt overeen met dezelfde spiegeling gevolgd door de inverse translatie, en ook met alleen een spiegeling met een halve translatie toegepast op de spiegel.

Twee spiegelingen met loodrechte spiegels vormen met de rotatie over 180° ten opzichte van het snijpunt of de snijlijn van de spiegels, en samen met de identiteit, een isometriegroep met de structuur van de viergroep van Klein. De combinatie van twee van de drie niet-triviale isometrieën is dus ongeacht de volgorde de derde.

Spiegelen in deelruimtes met lagere dimensieBewerken

Eenzelfde soort afbeelding als hierboven beschreven kan ook worden gedaan met een spiegel van lagere dimensie. Bij een spiegeling in een  -dimensionale ruimte met een  -dimensionale deelruimte als spiegel, zoals spiegeling in een tweedimensionale ruimte met een punt als spiegel, en spiegeling in een driedimensionale ruimte met een lijn als spiegel, verandert het beeld van een figuur nu niet van oriëntatie (de voorbeelden zijn equivalent met rotaties). Bij een spiegeling in een  -dimensionale ruimte met een  -dimensionale deelruimte als spiegel, zoals spiegeling in een driedimensionale ruimte met een punt als spiegel verandert het beeld van een figuur weer wel van oriëntatie.

PuntspiegelingBewerken

Puntspiegeling (in termen van positievectoren t.o.v. het punt is dit het nemen van het tegengestelde van elke vector) wordt ook wel inversie genoemd. Zoals gezegd verandert deze in één diimensie en in drie dimensies de oriëntatie, maar niet in twee dimensies. Puntspiegeling is commutatief met elke draaiing om een as door het punt en spiegeling ten opzichte van elk vlak door het punt. Dit is eenvoudig in te zien als men denkt aan het gebruik van matrixnotatie voor deze bewerkingen: de matrix voor inversie is het tegengestelde van de eenheidsmatrix. Zie ook de isometrieën in de driedimensionale euclidische ruimte.

Spiegeling in de natuurkundeBewerken

Spiegeling van een (vrije) vector in een vlak hangt alleen af van de stand van het vlak, niet van de positie ervan.

Spiegeling van een vectorveld in een vlak houdt in dat zowel de locatie (de onafhankelijk variabele) als de vectorwaarden van de functie gespiegeld worden. Spiegeling in een vlak van een natuurkundige situatie levert in zoverre een bestaanbare situatie op dat bepaalde vectoren niet alleen moeten worden gespiegeld maar dat de resulterende vector ook nog moet worden veranderd in zijn tegengestelde. Dit geldt als linker- en rechterhandregels aan de orde zijn, bijvoorbeeld voor impulsmoment, lorentzkracht, magnetische fluxdichtheid en magnetische veldsterkte. Bij een grootheid die wordt uitgedrukt door een formule is een linker- of rechterhandregel aan de orde als er een kruisproduct in voorkomt, of als een normaalvector wordt geassocieerd met de richting waarin bij een kringintegraal de kromme wordt doorlopen.

Zie ookBewerken