Dekpunt

In de wiskunde is een dekpunt, fixpunt of vast punt van een functie een argument dat op zichzelf wordt afgebeeld. Als de functie de verzameling in zichzelf afbeeldt is het element een dekpunt van , als . Als de functie bijvoorbeeld een rotatie in twee dimensies is, dan is het rotatiepunt een dekpunt.

Een functie met drie dekpunten

Van de reële functie

is 2 een dekpunt van , aangezien .

Niet alle functies hebben dekpunten: stel dat de op de reële getallen gedefinieerde functie is, dan kan deze functie geen dekpunten hebben, aangezien voor geen enkel reëel getal gelijk kan zijn aan . In grafische termen kan men zich het dekpunt voorstellen als het punt op de lijn of in andere woorden de plaats waar de grafiek van de lijn snijdt. In het voorbeeld zijn de grafiek van de functie en de lijn evenwijdige lijnen.

Punten die na een eindig aantal toepassingen van de functie terugkeren op de uitgangswaarde, staan bekend als periodieke punten; een dekpunt is een periodiek punt met een periode gelijk aan een.

Het vinden van dekpuntenBewerken

Een dekpunt is een oplossing van de vergelijking  .

Een andere manier om iteratief een dekpunt te vinden is een beginwaarde   te kiezen en vervolgens de iteratie   toe te passen. Dus   Als de rij   convergent is, zal deze convergeren naar een dekpunt.

De rij zal convergeren als aan de volgende eisen is voldaan:

  • De functie is gedefinieerd op een gesloten interval   en   als  .
  • Er is een positief getal   zodat voor iedere   geldt dat  .
  •  .

Het nut van dekpuntenBewerken

Veel wiskundige problemen zijn te herleiden tot dekpuntproblemen. Beschouw als voorbeeld de algemene eerste orde differentiaalvergelijking

 

met beginvoorwaarde  . Hierbij is   een continue functie. Deze differentiaalvergelijking met beginvoorwaardeintegraalvergelijking is gelijkwaardig met de volgende integraalvergelijking:

 

want als een oplossing   hieraan voldoet, is

  en  

Zij   de verzameling van continue functies op   en de afbeelding   gedefinieerd door

 

Als   een dekpunt   heeft, dan is   een oplossing van de differentiaalvergelijking met beginvoorwaarde.

Een uitgewerkt voorbeeld staat bij de contractiestelling van Banach.

Zie ookBewerken

Zoek dekpunt op in het WikiWoordenboek.