Dekpunt

In de wiskunde is een dekpunt, fixpunt of vast punt van een functie $f:V\to V$ een invoerwaarde van de functie, die door deze functie op zichzelf wordt afgebeeld. Dat wil zeggen dat $x$ dan en slechts dan een dekpunt van een functie $f$ is als $f(x)=x$.

Een functie met drie dekpunten

Als de functie bijvoorbeeld een rotatie in 2D is, dan is het rotatiepunt een dekpunt.

Voor een op de reële getallen gedefinieerde functie $f,$ bijvoorbeeld

$f(x)=x^{2}-3x+4$

is 2 een dekpunt van $f,$ aangezien $f(2)=2.$

Niet alle functies hebben dekpunten: stel dat $f$ de op de reële getallen gedefinieerde functie $f(x)=x+1$ is, dan kan deze functie geen dekpunten hebben, aangezien $x$ voor geen enkel reëel getal gelijk kan zijn aan $x+1.$ In grafische termen kan men zich het dekpunt voorstellen als het punt $(x,f(x))$ op de lijn $y=x,$ of in andere woorden de plaats, waar de grafiek van $f$ de lijn $y=x$ snijdt. Het voorbeeld $f(x)=x+1$ is een geval waar de grafiek van de functie en de lijn $y=x$ een paar evenwijdige lijnen zijn.

Punten die na een eindig aantal iteraties van de functie terugkeren op de uitgangswaarde staan bekend als periodieke punten; een dekpunt is een periodiek punt met een periode gelijk aan één.

Het vinden van dekpunten

De dekpuntiteratie

Een manier om dekpunten te vinden is om met een gok $x_{0}=g$ te beginnen. Vervolgens passen we $f(x)$ hier herhaald op toe. Dus $x_{1}=f(x_{0}),\ \ x_{2}=f(x_{1}),$ enz.

Oftewel:

$a_{i}={\begin{cases}f(a_{i-1})&{\mbox{als }}i>0\\g&{\mbox{als }}i=0\end{cases}}$

Als de rij convergent is zal deze convergeren naar een dekpunt. Het is gemakkelijk te zien dat deze rij niet voor alle functies en alle $g$'s zal convergeren. Neem de functie $f(x)=-x$ en de rij $a$ zal steeds heen en weer springen tussen $g$ en $-g.$

De rij zal convergeren als aan de volgende eisen is voldaan:

• De functie is gedefinieerd op een gesloten interval $I,$ en $f(x)\in I$ als $x\in I$
• Er is een positief getal $r<1$ zodat voor iedere $u,v\in I$ geldt dat $|f(u)-f(v)|<r|u-v|.$
• $g\in I$

Het nut van dekpunten

Veel wiskundige problemen zijn te herleiden tot dekpuntproblemen. Beschouw als voorbeeld de algemene eerste orde differentiaalvergelijking

${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=g(x,f(x))$

met beginvoorwaarde $f(a)=y_{0}.$ Hierbij is $g:[a,b]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ een continue functie. Deze differentiaalvergelijking met beginvoorwaardeintegraalvergelijking is gelijkwaardig met de volgende integraalvergelijking:

$f(x)=y_{0}+\int _{a}^{x}g(t,f(t))\,\mathrm {d} t$

want als een oplossing $f$ hieraan voldoet, is

${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=g(x,f(x))$ en $f(a)=y_{0}.$

Zij $C=C[a,b]$ de verzameling van continue functies op $[a,b]$ en de afbeelding $U:C\to C$ gedefinieerd door

$(Uf)(x)=y_{0}+\int _{a}^{x}g(t,f(t))\,\mathrm {d} t$

Als $U$ een dekpunt $f\in C$ heeft, dan is $f$ een oplossing van de differentiaalvergelijking met beginvoorwaarde.

Een uitgewerkt voorbeeld staat bij de contractiestelling van Banach.

Zie ook

• Dekpuntstelling van Brouwer
• Dekpuntstelling van Caristi
• Contractiestelling van Banach

WikiWoordenboek

Zoek dekpunt op in het WikiWoordenboek.