Dekpunt

In de wiskunde is een dekpunt, fixpunt of vast punt van een functie een argument dat op zichzelf wordt afgebeeld. Als de functie $f\colon V\to V$ de verzameling $V$ in zichzelf afbeeldt is het element $x$ een dekpunt van $f$, als $f(x)=x$. Als de functie bijvoorbeeld een rotatie in twee dimensies is, dan is het rotatiepunt een dekpunt.

Een functie met drie dekpunten

Van de reële functie

$f(x)=x^{2}-3x+4$

is 2 een dekpunt van $f$, aangezien $f(2)=2$.

Niet alle functies hebben dekpunten: stel dat $f$ de op de reële getallen gedefinieerde functie $f(x)=x+1$ is, dan kan deze functie geen dekpunten hebben, aangezien $x$ voor geen enkel reëel getal gelijk kan zijn aan $x+1$. In grafische termen kan men zich het dekpunt voorstellen als het punt $(x,f(x))$ op de lijn $y=x$ of in andere woorden de plaats waar de grafiek van $f$ de lijn $y=x$ snijdt. In het voorbeeld $f(x)=x+1$ zijn de grafiek van de functie en de lijn $y=x$ evenwijdige lijnen.

Punten die na een eindig aantal toepassingen van de functie terugkeren op de uitgangswaarde, staan bekend als periodieke punten; een dekpunt is een periodiek punt met een periode gelijk aan een.

Het vinden van dekpunten

De dekpuntiteratie

Een dekpunt is een oplossing van de vergelijking $f(x)=x$.

Een andere manier om iteratief een dekpunt te vinden is een beginwaarde $x_{0}$ te kiezen en vervolgens de iteratie $x_{n+1}=f(x_{n})$ toe te passen. Dus $x_{1}=f(x_{0}),\ \ x_{2}=f(x_{1}),\ldots$ Als de rij $(x_{n})$ convergent is, zal deze convergeren naar een dekpunt.

De rij zal convergeren als aan de volgende eisen is voldaan:

• De functie is gedefinieerd op een gesloten interval $I,$ en $f(x)\in I$ als $x\in I$.
• Er is een positief getal $r<1$ zodat voor iedere $u,v\in I$ geldt dat $|f(u)-f(v)|<r|u-v|$.
• $g\in I$.

Het nut van dekpunten

Veel wiskundige problemen zijn te herleiden tot dekpuntproblemen. Beschouw als voorbeeld de algemene eerste orde differentiaalvergelijking

${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=g(x,f(x))$

met beginvoorwaarde $f(a)=y_{0}$. Hierbij is $g:[a,b]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ een continue functie. Deze differentiaalvergelijking met beginvoorwaardeintegraalvergelijking is gelijkwaardig met de volgende integraalvergelijking:

$f(x)=y_{0}+\int _{a}^{x}g(t,f(t))\,\mathrm {d} t$

want als een oplossing $f$ hieraan voldoet, is

${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=g(x,f(x))$ en $f(a)=y_{0}$

Zij $C=C[a,b]$ de verzameling van continue functies op $[a,b]$ en de afbeelding $U:C\to C$ gedefinieerd door

$(Uf)(x)=y_{0}+\int _{a}^{x}g(t,f(t))\,\mathrm {d} t$

Als $U$ een dekpunt $f\in C$ heeft, dan is $f$ een oplossing van de differentiaalvergelijking met beginvoorwaarde.

Een uitgewerkt voorbeeld staat bij de contractiestelling van Banach.

Zie ook

• Dekpuntstelling van Brouwer
• Dekpuntstelling van Caristi
• Contractiestelling van Banach

WikiWoordenboek

Zoek dekpunt op in het WikiWoordenboek.