Dekpunt

In de wiskunde is een dekpunt, fixpunt of vast punt van een functie een invoerwaarde van de functie, die door deze functie op zichzelf wordt afgebeeld. Dat wil zeggen dat dan en slechts dan een dekpunt van een functie is als .

Een functie met drie dekpunten

Als de functie bijvoorbeeld een rotatie in 2D is, dan is het rotatiepunt een dekpunt.

Voor een op de reële getallen gedefinieerde functie bijvoorbeeld

is 2 een dekpunt van aangezien

Niet alle functies hebben dekpunten: stel dat de op de reële getallen gedefinieerde functie is, dan kan deze functie geen dekpunten hebben, aangezien voor geen enkel reëel getal gelijk kan zijn aan In grafische termen kan men zich het dekpunt voorstellen als het punt op de lijn of in andere woorden de plaats, waar de grafiek van de lijn snijdt. Het voorbeeld is een geval waar de grafiek van de functie en de lijn een paar evenwijdige lijnen zijn.

Punten die na een eindig aantal iteraties van de functie terugkeren op de uitgangswaarde staan bekend als periodieke punten; een dekpunt is een periodiek punt met een periode gelijk aan één.

Het vinden van dekpuntenBewerken

Een manier om dekpunten te vinden is om met een gok   te beginnen. Vervolgens passen we   hier herhaald op toe. Dus   enz.

Oftewel:

 

Als de rij convergent is zal deze convergeren naar een dekpunt. Het is gemakkelijk te zien dat deze rij niet voor alle functies en alle  's zal convergeren. Neem de functie   en de rij   zal steeds heen en weer springen tussen   en  

De rij zal convergeren als aan de volgende eisen is voldaan:

  • De functie is gedefinieerd op een gesloten interval   en   als  
  • Er is een positief getal   zodat voor iedere   geldt dat  
  •  

Het nut van dekpuntenBewerken

Veel wiskundige problemen zijn te herleiden tot dekpuntproblemen. Beschouw als voorbeeld de algemene eerste orde differentiaalvergelijking

 

met beginvoorwaarde   Hierbij is   een continue functie. Deze differentiaalvergelijking met beginvoorwaardeintegraalvergelijking is gelijkwaardig met de volgende integraalvergelijking:

 

want als een oplossing   hieraan voldoet, is

  en  

Zij   de verzameling van continue functies op   en de afbeelding   gedefinieerd door

 

Als   een dekpunt   heeft, dan is   een oplossing van de differentiaalvergelijking met beginvoorwaarde.

Een uitgewerkt voorbeeld staat bij de contractiestelling van Banach.

Zie ookBewerken

  Zoek dekpunt op in het WikiWoordenboek.