Orthogonale matrix

Een orthogonale matrix is in de lineaire algebra een reële vierkante matrix waarvan de kolommen een orthonormaal stelsel vormen. Dat houdt in dat de kolommen onderling orthogonaal zijn en als vector de lengte 1 hebben. Analoog geldt er dat de rijen ook een orthonormaal stelsel vormen en dus onderling orthogonaal zijn met als lengte 1. Een andere manier van karakteriseren is dat de getransponeerde van de matrix gelijk is aan de inverse. Het overeenkomstige begrip voor complexe matrices is een unitaire matrix.

Orthogonale matrices als afbeelding gezien op een euclidische ruimte behouden de oorsprong en afstanden en hoeken. Ze komen dus overeen met draaiingen, spiegelingen en combinaties daarvan.

Definitie

Een vierkante matrix $A$ heet orthogonaal als de kolommen een orthonormaal stelsel vormen, dus als

$A^{\text{T}}A=I$,

waarin $I$ de eenheidsmatrix is.

Hiermee equivalent is dat $A$ inverteerbaar is en de inverse gelijk is aan de getransponeerde van $A$ , dus als:

$A^{-1}=A^{\text{T}}$

Van een orthogonale matrix zijn ook de rijen orthonormaal:

$AA^{\text{T}}=I$

Eigenschappen

• De determinant van een orthogonale matrix $A$ is gelijk aan +1 of –1. Er geldt immers:

$1=\det(I)=\det(A^{\text{T}}A)=\det(A^{\text{T}})\det(A)=(\det(A))^{2}$.

• Het product van twee orthogonale matrices $A$ en $B$ is weer orthogonaal, immers:

$(AB)^{\text{T}}AB=B^{\text{T}}A^{\text{T}}AB=B^{\text{T}}IB=B^{\text{T}}B=I$.

• Orthogonale matrices bewaren het inproduct, dat wil zeggen als $A$ orthogonaal is, geldt:

$\langle Av,Aw\rangle =\langle v,A^{\text{T}}Aw\rangle =\langle v,w\rangle$.

De afbeeldingen $x\mapsto Ax+b$ representeren dus isometrieën, want

$\|Ax+b-Ay-b\|^{2}=\|A(x-y)\|^{2}=\langle A(x-y),A(x-y)\rangle =\langle x-y,x-y\rangle =\|x-y\|^{2}$.

• Voor de eigenwaarde $\lambda$ met bijbehorende eigenvector $x$ van een orthogonale matrix $A$ geldt:

$\langle x,x\rangle =\langle Ax,Ax\rangle =\langle \lambda x,\lambda x\rangle =\lambda ^{2}\langle x,x\rangle$, dus $\lambda ^{2}=1$