Afstand (wiskunde)

(Doorverwezen vanaf Gewone metriek)
Samenvoegen Ten minste één Wikipediagebruiker vindt dat de onderstaande inhoud, of een gedeelte daarvan, samengevoegd zou moeten worden met Gewone metriek, of dat er een duidelijkere afbakening tussen deze artikelen dient te worden gemaakt (bekijk voorstel).

In de wiskunde is een begrip afstand of metriek gedefinieerd als generalisatie van het gewone afstandsbegrip. Deze generalisatie is zo gekozen dat een aantal kenmerkende eigenschappen van het gewone afstandsbegrip behouden blijven.

Een metrische ruimte is een verzameling waarop een afstand is gedefinieerd, zodat van elke twee elementen ervan de afstand ertussen is gegeven. De afstand van een punt tot een niet-lege verzameling is het infimum, de grootste ondergrens van de afstanden van het punt tot de punten van de verzameling.

In de differentiaalmeetkunde en relativiteitstheorie wordt het woord metriek gebruikt om te refereren aan een metrische tensor. De ruimte is daarbij in veel gevallen geen metrische ruimte, doordat een deel van de definiërende eigenschappen daar niet gelden.

DefinitieBewerken

Een metriek of afstand op een verzameling   is een afbeelding   die aan de volgende axioma's voldoet.

Voor willekeurige   geldt:

  (niet-negativiteit).
 , de scheidingseigenschap
  (symmetrie).
 , de driehoeksongelijkheid

Voor twee elementen   is   de afstand van   tot  . Het axioma van symmetrie zegt dat de afstand van   tot   gelijk is aan de afstand van   tot  , zodat men eenvoudig van de afstand tussen   en   kan spreken. De axioma's garanderen verder dat twee verschillende elementen geen afstand 0 kunnen hebben. De driehoeksongelijkheid laat zien dat de weg over een derde punt niet korter kan zijn dan de directe weg.

Het axioma  , van niet-negativiteit, is strikt genomen niet nodig aangezien het van de drie andere kan worden afgeleid. Stel dat er een strikt negatieve afstand tussen twee elementen   en   bestaat:  . Door symmetrie is ook   en is   door de scheidingseigenschap.[1] We kunnen dan een driehoeksongelijkheid bouwen die absurd is:  , dus  . Een negatieve afstand is daarom niet mogelijk.

Als de scheidingseigenschap wordt afgezwakt door het slechts dan weg te laten, heet   een pseudometriek. Er kunnen in dat geval elementen zijn die van elkaar verschillen, maar toch een afstand, een pseudoafstand 0 tot elkaar hebben.

VoorbeeldenBewerken

  en   zijn twee punten waartussen de afstand moet worden gegeven.

Gewone metriek of euclidische afstandsfunctieBewerken

Een metriek op   is de euclidische afstand of gewone metriek:

 ,

waarbij voor  :

 

De stelling van Pythagoras wordt hierbij dus gebruikt. Het inwendige product is de norm voor deze metriek.

Een speciaal geval van het bovenstaande vormen de complexe getallen   met:

 , de modulus van  .

De euclidische afstand   in de   tussen de twee punten is

 

Manhattan-metriekBewerken

Een ander voorbeeld van een metriek op   is de Manhattan-metriek of Manhattan-blokmetriek:

 .

Deze metriek dankt zijn naam aan het tweedimensionale voorbeeld waarbij men in een stadswijk met een patroon van elkaar loodrecht kruisende straten, volgens de kortste weg van hoekpunt A naar hoekpunt B wandelt.

Discrete metriekBewerken

Voor een willekeurige verzameling   is de afbeelding   die elk identiek puntenpaar   op 0 afbeeldt, en ieder ander puntenpaar op 1, een metriek die de discrete metriek wordt genoemd. Deze metriek geeft alleen aan of twee elementen verschillend zijn of niet.

Afstanden in de euclidische meetkundeBewerken

Afstanden tussen lijnen en vlakken in de euclidische meetkunde zijn goed te berekenen wanneer de normaalvergelijking van Hesse daarvan bekend is. Die vergelijking bepaald in twee dimensies een lijn en in drie dimensies een vlak.

Tussen twee puntenBewerken

De kortste verbindingsweg of euclidische afstand tussen twee punten is een lijnstuk en kan de afstand met de stelling van Pythagoras worden berekend. In een tweedimensionale ruimte betekent dat voor de afstand   tussen de punten   en  

 

In drie dimensies geldt hetzelfde

 

Zijn de punten   en   in de tweedimensionale ruimte gegeven in genormaliseerde barycentrische coördinaten, dan is gebruikmakend van conway-driehoeknotatie de afstand gegeven door

 

Tussen een punt en een lijnBewerken

De afstand tussen een punt   en een lijn   door de punten   en  , is:

 

met

 

Ligt het getal   tussen 0 en 1 dan bevindt het snijpunt van l en de lijn door   loodrecht op   zich tussen de punten   en  .

De afstand van een punt   tot de lijn   met vergelijking   is:

 

Het getal in de noemer is de lengte van de normaalvector   van  .

Tussen een punt en een vlakBewerken

De afstand van een punt   tot het vlak   met vergelijking   is:

 

Het getal in de noemer is de lengte van de normaalvector   van  .

Afstand tussen twee lijnen in drie dimensiesBewerken

 
afstand tussen twee lijnen

De afstand tussen de twee lijnen is de afstand van een willekeurig punt van de eerste lijn tot het vlak door de tweede lijn evenwijdig aan de eerste.

Afstand in gekromde ruimtenBewerken

In de differentiaalmeetkunde wordt de afstand tussen twee punten gemeten aan de hand van de lengte van krommen, meer bepaald: het infimum van de lengten van alle krommen die twee punten verbinden. Hiervoor wordt aangenomen dat tussen elk paar punten minstens een kromme bestaat, dus we bevinden ons in een (weg)samenhangende Riemannse variëteit.

Als een bepaalde kromme de kortste verbinding tussen twee punten legt, dan is die kromme noodzakelijk een geodeet.

Afstand tussen twee punten op een bolBewerken

De afstand tussen twee punten   en   op het oppervlak van een bol, gemeten langs een grote cirkel, dus over het oppervlak van de bol, niet erdoorheen, is:

 

hierin is   de straal van de bol,   de hoek in het equatoriale vlak en   de hoek loodrecht daarop, gerekend vanaf de equator.

Gerichte afstandBewerken

Soms wordt gesproken van de gerichte afstand van een punt tot een lijn in twee dimensies of tot een vlak in drie dimensies. Deze is aan de ene zijde de gewone afstand, en aan de andere zijde het tegengestelde. Per geval moet dus gedefinieerd worden aan welke zijde de gerichte afstand de gewone afstand is.[2]

Metriek op een vectorruimteBewerken

Uitgaande van een norm   op een genormeerde vectorruimte   kan de volgende metriek worden gedefinieerd:

 

Deze metriek wordt de door de norm geïnduceerde metriek genoemd. Zie bijvoorbeeld (hierboven) de geïnduceerde metriek op  .

Omgekeerd induceren metrieken die zowel homogeen als translatie-invariant zijn, een norm op een vectorruimte. Een metriek   op een vectorruimte   heet homogeen, als

 ,

en translatie-invariant als

 .

Een dergelijke metriek induceert een norm op   door de definitie

 

Translatie-invariante metriekBewerken

Meer algemeen dan hierboven behandeld is een metriek op een abelse groep translatie-invariant als die slechts afhangt van het verschil van de beide elementen. Een dergelijke metriek is geheel bepaald door de afstanden tot 0. Dit kan ook zo worden uitgedrukt dat iedere translatie een isometrie is.

Absolute waardeBewerken

Op een integriteitsdomein (al of niet met 1) met absolute waarde kan een translatie-invariante metriek gedefinieerd worden door de absolute waarde als afstand tot 0 te beschouwen.

p-adische normBewerken

Een speciaal geval van een absolute waarde is, voor elk priemgetal  , de  -adische norm (geen echte norm). De bijbehorende translatie-invariante metriek is die van de  -adische getallen.

UltrametriekBewerken

Een ultrametriek is een metriek met een sterkere driehoeksongelijkheid, namelijk

 , de ultrametrische ongelijkheid

Bij (onder meer) een ultrametriek heeft lengte geen duidelijke betekenis, zelfs niet in een eenvoudig eendimensionaal geval, zoals de lengte van een lijnstuk. De afstand van het begin tot het eind is niet te interpreteren als de lengte van een kortste route die de som is van de lengtes van delen van de route.

Ook is het zo dat als een punt ligt op een lijnstuk waarvan de uiteinden een kleine afstand tot elkaar hebben, dit niet impliceert dat dat punt een kleine afstand heeft tot de uiteinden.

Voor elk priemgetal   is de bovengenoemde translatie-invariante metriek van de  -adische getallen een voorbeeld van een ultrametriek. Een ander voorbeeld is de bovengenoemde discrete metriek.

Equivalentie van metriekenBewerken

Twee metrieken   en   op een verzameling   zijn equivalent als er getallen   bestaan zodat voor alle   geldt:

  en  

VoorbeeldenBewerken

In   zijn de volgende metrieken equivalent:

  • De euclidische metriek
  • De metriek gegeven door  
  • De metriek gegeven door  

Begrensde metriekBewerken

Een begrensde metriek is een metriek waarvoor er een   bestaat zodat

 

VoorbeeldBewerken

De metriek   gegeven door:

  is begrensd.

Het is duidelijk dat