p-adische norm

De $p$-adische norm, gedefinieerd voor elk priemgetal $p$, is een gegeneraliseerde absolute waarde op de rationale getallen anders dan de gewone absolute waarde en de triviale absolute waarde. Het belang van de $p$-adische norm ligt in de introductie van p-adische getallen. Volgens de stelling van Ostrowski is elke gegeneraliseerde absolute waarde op de rationale getallen equivalent met de gewone absolute waarde, de triviale, of een $p$-adische norm.

Definitie

Als gevolg van de hoofdstelling van de rekenkunde zijn er bij een gegeven priemgetal $p$ voor elk rationaal getal $q$ gehele getallen $t,n$ en $a$ zo, dat:

$q=p^{a}\cdot {\frac {t}{n}}$

en $t$ en $n$ niet door $p$ kunnen worden gedeeld.

De $p$-adische norm van $q\neq 0$ is dan gedefinieerd als:

$\|q\|_{p}=p^{-a}$

Daarnaast is

$\|0\|_{p}=0$

Bij elk rationaal getal $q$ zijn er priemgetallen $p_{1},\ldots ,p_{n}$ en gehele getallen $a_{1},\ldots ,a_{n}$ zo, dat:

$q=p_{1}^{a_{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{a_{n}}$.

Dus is voor $k=1,\ldots ,n$

$\|q\|_{p_{k}}=p_{k}^{-a_{k}}$

en voor ieder ander priemgetal $p$:

$\|q\|_{p}=1$

Voorbeelden

• De getallen ... −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, ... die niet door 5 kunnen worden gedeeld, hebben de 5-adische norm 5⁰ = 1.
• De getallen ... −10, −5, 5, 10, 15, 20, 30, ... zijn deelbaar door 5, maar niet door 25 en hebben dus de 5-adische norm $5^{-1}={\tfrac {1}{5}}$.
• De getallen ... −50, −25, 25, 50, 75, 100, 150, ... hebben de 5-adische norm $5^{-2}={\tfrac {1}{25}}$.
• $\left|\left|{\frac {7}{250}}\right|\right|_{5}=5^{3}=125$, vanwege de factor $5^{3}$ in de noemer.
• Voor $x={\tfrac {63}{550}}=2^{-1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}$ geldt:

$\|x\|_{2}=2,\|x\|_{3}={\tfrac {1}{9}},\|x\|_{5}=25,\|x\|_{7}={\tfrac {1}{7}},\|x\|_{11}=11$

$|x|_{p}=1$ voor alle andere priemgetallen $p$.

• Cauchyrijen

Het hangt af van de gebruikte metriek of een rij al dan niet een cauchyrij is, .

De reeks $1+5+5^{2}+5^{3}+\ldots +5^{n}+\ldots$ is normaal niet convergent, maar in de 5-adische norm wel. De som van de eerste $n$ termen is

${\frac {1-5^{n}}{1-5}}=-{\frac {1}{4}}+{\frac {5^{n}}{4}}$.

De 5-adische norm van de laatste term is $5^{-n}$. De 5-adische limiet van deze reeks is gelijk aan $-{\frac {1}{4}}$.

Niet-archimedisch

De $p$-adische normen hebben een sterkere ongelijkheid dan de driehoeksongelijkheid:

$\|x\pm y\|_{p}\leq \max(\|x\|_{p},\|y\|_{p})$

Een ultrametriek wordt door een dergelijke ongelijkheid bepaald. De bijbehorende metriek is dus een ultrametriek.

Uit deze ongelijkheid volgt meteen dat $\|nx\|_{p}\leq \|x\|_{p}$ met $n\in \mathbb {N}$. Men zegt in dit verband dat de p-adische norm niet-archimedisch is. Een belangrijk gevolg hiervan betreft de convergentie van oneindige reeksen. In $\mathbb {Q} _{p}$, en meer algemeen in elke complete ruimte met een niet-archimedische norm, is een oneindige reeks alleen dan convergent als haar algemene term naar nul gaat. Dit staat in schril contrast met de situatie in $\mathbb {R}$, waar de grens tussen convergente en divergente reeksen veel moeilijker te trekken valt.

Eigenschappen

$\|q\|_{p}\geq 0$

$\|q\|_{p}=0\Rightarrow q=0$

$\|-q\|_{p}=\|q\|_{p}$

$\|qr\|_{p}=\|q\|_{p}\|r\|_{p}$

$\|q+r\|_{p}\leq \|q\|_{p}+\|r\|_{p}$

$\|q+r\|_{p}\leq \max(\|q\|_{p},\|r\|_{p})$

Metriek

De $p$-adische norm induceert op $\mathbb {Q}$ een $p$-adische metriek, een ultrametriek, door de afstandsfunctie met isometrische translaties

$d_{p}(a,b)=\|a-b\|_{p}$

Beschouwen we de zo geconstrueerde 5-adische metriek, dan convergeert in $\mathbb {Q}$ de rij $(1,5,5^{2},5^{3},5^{4},\ldots )$ naar 0, terwijl de rij $(1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{8}},\ldots )$ weliswaar begrensd is, maar geen cauchyrij is, want voor alle $n$ is:

$d_{5}\left({\tfrac {1}{2^{n}}},{\tfrac {1}{2^{n+1}}}\right)=\left\|{\tfrac {1}{2^{n+1}}}\right\|_{5}=1$