Normaalvergelijking van Hesse

Een normaalvergelijking van Hesse, ook normaalvorm van Hesse of hesse-vergelijking, is in de analytische meetkunde een bijzondere vorm van de vergelijking van een rechte lijn of van een plat vlak. De hesse-vergelijking beschrijft een lijn in het platte vlak of een vlak in drie dimensies met behulp van een genormeerde normaalvector van de lijn of het vlak, en de afstand tot de oorsprong. De hesse-vergelijking wordt meestal gebruikt bij het berekenen van de (loodrechte) afstand van een punt tot een rechte lijn of tot een plat vlak. De vergelijking is genoemd naar de Duitse wiskundige Otto Hesse (1811-1874), die de vergelijking gebruikte – hoewel niet als eerste – in zijn boek uit 1865 “Vorlesungen” uit de meetkunde over de rechte lijn.[1][2]

In het platte vlakBewerken

 
Figuur 2. Illustratie van de hesse-vergelijking; zie de stelling.

In het euclidische vlak,  , is een lijn   gegeven. De steunvector   staat loodrecht op de lijn. De eenheidsnormaalvector op de lijn is de vector   met lengte  . Daarvoor geldt:

 

waarin   de hoek is tussen de positieve  -as en  . De lengte   van de steunvector is de afstand van de lijn tot de oorsprong.

Voor elk punt   op de lijn is het inproduct met de normaalvector   gelijk aan:

 

Deze vergelijking heet de hesse-vergelijking van de lijn  .

Alternatief kan worden afgeleid, met   de hoek tussen   en  :

 
 

Als de lijn   gegeven wordt door de vergelijking:

 

is de hesse-vergelijking:

 

en is de normaalvector

 

Afstand punt-lijnBewerken

 
Figuur 3. Berekening van de afstand tussen het punt   en de lijn  

Is   een niet op   gelegen punt, dan kan de afstand van   tot de lijn   worden berekend met behulp van de lijn   die door   gaat en evenwijdig is met  ; zie figuur 3.

Is de afstand van   tot   gelijk aan   en die tot   gelijk aan  , dan zijn de hesse-vergelijkingen van die lijnen:

 

Voor de afstand   van   tot   is dan:

 

Hierin is de waarde van   op het eerste gezicht onbekend, maar het punt   ligt op de lijn  , en dan voldoen de coördinaten van   aan de vergelijking van die lijn. En dan is:

 

zodat:

 

In woorden: de afstand   van het punt   tot een lijn   met hesse-vergelijking   wordt berekend door de coördinaten van   in die vergelijking te substitueren en van de uitkomst te absolute waarde te nemen.

Voorbeeld

Voor de berekening van de afstand   van het punt   tot de lijn met vergelijking:

 

is de hesse-vergelijking van die lijn:

 

Dan is:

 

De hesse-vergelijking van een vlakBewerken

In drie dimensies wordt de hesse-vergelijkung van een vlak in   gegeven door de vectoren   die voldoen aan:

 

met   en   de eenheidsormaalvector op het vlak, dus met  . Er geldt:

 ,

dus ids:

 

Daarin zijn   en   de richtingshoeken van  , de hoeken met respectievelijk de positieve  -,  - en  -as.

Als het vlak gegeven wordt door de vergelijking:

 ,

dan is de hesse-vergelijking van het vlak:

 

en de eenheidsnormaalvector:

 
Voorbeeld

De afstand   van het punt   tot het vlak   met vergelijking:

 

kan worden berekend met de hesse-vergelijking van  . Deze is:

 

Dan is: