Driehoeksongelijkheid

Triangle with points APB.png
Linia APB.svg

De driehoeksongelijkheid zegt dat de kortste afstand tussen twee punten de rechte lijn is. Gaat men via een omweg over het punt P van het punt A naar het punt B, de naam zegt het al, dan is de afstand langer dan wanneer men direct in een rechte lijn gaat. Wanneer P op de lijn tussen A en B ligt maakt het natuurlijk niets uit.

Meetkundige interpretatieBewerken

Voor elk drietal punten A,B en P in een euclidische ruimte die niet op één lijn liggen, geldt, met   de afstand tussen A en B:

 

Als A, B en P op één lijn liggen en P bevindt zich tussen A en B, geldt

 

Driehoeksongelijkheid in een algemene vectorruimteBewerken

De eerste driehoeksongelijkheid

Voor een abstracte norm op een reële of complexe vectorruimte is de driehoeksongelijkheid een axioma:

      voor alle vectoren x en y

Uit de ongelijkheid van Minkowski volgt dat de Lp-norm hieraan voldoet.

Dat deze vorm van de driehoeksongelijkheid overeenkomt met het axioma voor een afstand, blijkt uit het volgende:

De norm induceert een afstand   die voldoet aan de driehoeksongelijkheid voor een afstand:

 .


Als op een reële of complexe vectorruimte een inwendig product   gegeven is, wordt door de definitie

 

een norm bepaald. Het bewijs dat dit voorschrift aan het axioma van de driehoeksongelijkheid voldoet, volgt uit de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz.

 
De tweede driehoeksongelijkheid

Toepassen van de eerste driehoeksongelijkheid op   (of  ) geeft:

 

dus

 

en dus ook:

 

Abstracte versieBewerken

De algemene vorm van de driehoeksongelijkheid op een willekeurige verzameling   geeft aanleiding tot het begrip pseudometriek. In wezen is een pseudometriek niets anders dan een verder niet nader bepaalde symmetrische "afstandsfunctie" die aan een driehoeksongelijkheid voldoet.