Hoofdmenu openen

Een pseudometriek is in de wiskunde, meer bepaald in het deelgebied de topologie, een iets algemener begrip dan een metriek. Het is 'bijna' een metriek in de zin dat een pseudometriek toestaat dat elementen een "(pseudo)afstand" 0 hebben en toch verschillend zijn, iets wat bij een (echte) metriek is uitgesloten.

DefinitieBewerken

Een pseudometriek op een verzameling   is een afbeelding   die aan de volgende voorwaarden voldoet:

voor willekeurige   geldt:

  1.   (niet-negativiteit).
  2.   .
  3.   (symmetrie).
  4.   (de driehoeksongelijkheid).

Het paar   noemt men wel een pseudometrische ruimte.

Het verband tussen pseudometriek en metriekBewerken

Een pseudometriek is een metriek als verschillende punten geen onderlinge afstand 0 hebben:

 

Opmerking: Voor een metriek geldt altijd dat twee verschillende punten een onderlinge afstand hebben die groter dan nul is.

Verband met topologieBewerken

Noem een deelverzameling   van   open als voor elk element   de punten die voldoende dicht bij   liggen, ook tot   behoren. In formule:

 

De collectie van alle open verzamelingen van   vormt een topologie op  . Lang niet alle topologische ruimten zijn afkomstig van pseudometrieken.

Als   een metriek is, dan voldoet deze topologische ruimte aan het scheidingsaxioma  . Als   een "echte" pseudometriek is (dat wil zeggen geen metriek), dan voldoet deze topologische ruimte niet eens aan het zwakste scheidingsaxioma  .