Pseudometriek
Een pseudometriek is in de wiskunde, meer bepaald in het deelgebied de topologie, een iets algemener begrip dan een metriek. Het is 'bijna' een metriek in de zin dat het in een pseudometriek is toegestaan dat elementen een 'pseudoafstand' 0 hebben en toch verschillend zijn, iets wat bij een gangbare metriek is uitgesloten.
Definitie
bewerkenEen pseudometriek op een verzameling is een afbeelding die aan de volgende voorwaarden voldoet:
voor willekeurige geldt:
- , niet-negativiteit
- , symmetrie
- , de driehoeksongelijkheid
Het paar noemt men wel een pseudometrische ruimte.
Het verband tussen pseudometriek en metriek
bewerkenEen pseudometriek is een metriek als verschillende punten geen onderlinge afstand 0 hebben:
Opmerking: Voor een metriek geldt altijd dat twee verschillende punten een onderlinge afstand hebben die groter dan nul is.
Verband met topologie
bewerkenNoem een deelverzameling van open als voor elk element de punten die voldoende dicht bij liggen, ook tot behoren. In formule:
- heet open, als
De verzameling van alle open verzamelingen van vormt een topologie op . Lang niet alle topologische ruimten zijn afkomstig van pseudometrieken.
Als een metriek is, dan voldoet deze topologische ruimte aan het scheidingsaxioma . Als wel een pseudometriek is, maar geen metriek, voldoet deze topologische ruimte niet eens aan het zwakste scheidingsaxioma .