Integriteitsgebied

In de commutatieve algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een integriteitsgebied, ook integriteitsdomein, integraaldomein of kortweg domein, een commutatieve ring zonder nuldelers, ongelijk aan de triviale ring.

De laatste eis betekent dat de neutrale elementen 0 voor de optelling en 1 voor de vermenigvuldiging van elkaar verschillen. Dat er geen nuldelers zijn houdt in dat het product van twee elementen ongelijk aan 0 ook ongelijk is aan 0.
Dit laatste is equivalent met: $\forall x,y\in \mathrm {Integr.Gebied} :x\cdot y=0\implies x=0\lor y=0$.

Integriteitsgebieden maken deel uit van de onderstaande keten van deelverzamelingen:

lichamen/velden ⊂ euclidische domeinen ⊂ hoofdideaaldomeinen ⊂ unieke factorisatiedomeinen ⊂ integriteitsgebieden ⊂ commutatieve ringen ⊂ ringen.

Voorbeelden en tegenvoorbeeld

• In een lichaam heeft ieder element behalve 0 een inverse voor de vermenigvuldiging en kunnen er dus geen nuldelers zijn. Als namelijk $a\cdot b=0$ en $b\neq 0,$ dan is $a=a\cdot b\cdot b^{-1}=0\cdot b^{-1}=0$.
• De gehele getallen van Gauss vormen een integriteitsdomein.
• Als $K$ een lichaam is, dan is de ring $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ van de polynomen in $n$ variabelen met coëfficiënten in $K$ een integriteitsgebied.
• Elke deelring met een eenheidselement van een integriteitsgebied is opnieuw een integriteitsgebied.
• Met modulair rekenen: De ring $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ van de restklassen modulo 6 is een commutatieve ring met eenheidselement, maar de restklassen van 2 en 3 zijn nuldelers: ${\overline {2}}\times {\overline {3}}={\overline {6}}={\overline {0}}$.

Elementaire kenmerkende eigenschappen

Een commutatieve ring met eenheidselement is een integriteitsdomein als en slechts als het ideaal (0) een priemideaal is.

Een commutatieve ring $R$ met eenheidselement is een integriteitsdomein als voor ieder element $r\neq 0$ de vermenigvuldiging met $r$ een injectieve transformatie is:

$\forall r\in R\setminus \{0\},\forall a,b\in R:r\cdot a=r\cdot b\implies a=b$

Een ring is dan en slechts dan een integriteitsgebied als het een deelring met eenheidselement is van een lichaam. Een dergelijk lichaam kan expliciet geconstrueerd worden (zie hieronder bij quotiëntenlichaam).

Voorbeeld

Het tegenvoorbeeld van de restklassen modulo 6 hierboven is geen integriteitsgebied, omdat het ideaal van de zesvouden geen priemideaal is.

Ringkarakteristiek

Iedere commutatieve ring met eenheidselement waarvan de karakteristiek $n$ verschilt van 0, omvat de ring der restklassen modulo $n$ als deelring. Hieruit volgt dat de karakteristiek van een integriteitsgebied ofwel 0, ofwel een priemgetal is.

Quotiëntenlichaam

In een integriteitsgebied kunnen op een abstracte manier breuken gedefinieerd worden, analoog aan de constructie van de rationale getallen aan de hand van paren gehele getallen. Het resultaat is een lichaam dat het oorspronkelijke integriteitsgebied als deelring omvat, genaamd het quotiëntenlichaam of breukenlichaam van $R$.