Integriteitsdomein

In de commutatieve algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een integriteitsdomein, ook wel integriteitsgebied, integraaldomein of kortweg domein, een commutatieve ring, met de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen, waarbij het neutrale element 1 voor de vermenigvuldiging en 0 voor de optelling voldoen aan de volgende voorwaarden:

  • Er zijn geen nuldelers, met andere woorden

Integriteitsdomeinen maken deel uit van de onderstaande keten van deelverzamelingen:

lichamen/veldenEuclidische domeinenhoofdideaaldomeinenunieke factorisatiedomeinen ⊂ integriteitsdomeinen ⊂ commutatieve ringenringen.

Voorbeelden en tegenvoorbeeldBewerken

  • In een lichaam heeft ieder element behalve 0 een inverse voor de vermenigvuldiging en kunnen er dus geen nuldelers zijn. Als namelijk   en   dan is  
  • De gehele getallen van Gauss vormen een integriteitsdomein.
  • Als   een lichaam is, dan is de ring   van de polynomen in   variabelen met coëfficiënten in   een integriteitsgebied.
  • Elke deelring met een eenheidselement van een integriteitsgebied is opnieuw een integriteitsgebied.
  • Met modulair rekenen: De ring   van de restklassen modulo 6 is een commutatieve ring met eenheidselement, maar de restklassen van 2 en 3 zijn nuldelers:  

Elementaire kenmerkende eigenschappenBewerken

Een commutatieve ring met eenheidselement is een integriteitsdomein als en slechts als het ideaal (0) een priemideaal is.

Een commutatieve ring   met eenheidselement is een integriteitsdomein als voor ieder element   de vermenigvuldiging met   een injectieve transformatie is:

 

Een ring is een integriteitsdomein dan en slechts dan als het een deelring met eenheidselement is van een lichaam. Een dergelijk lichaam kan expliciet geconstrueerd worden (zie hieronder bij quotiëntenlichaam).

VoorbeeldBewerken

Het tegenvoorbeeld van de restklassen modulo 6 hierboven is geen integriteitsdomein, omdat het ideaal van de zesvouden geen priemideaal is.

RingkarakteristiekBewerken

Iedere commutatieve ring met eenheidselement waarvan de karakteristiek   verschilt van 0, omvat de ring der restklassen modulo   als deelring. Hieruit volgt dat de karakteristiek van een integriteitsgebied ofwel 0, ofwel een priemgetal is.

QuotiëntenlichaamBewerken

In een integriteitsdomein kunnen we op een abstracte manier breuken definiëren, analoog met de constructie van de rationale getallen aan de hand van paren gehele getallen. Het resultaat is een lichaam dat het oorspronkelijke integriteitsgebied als deelring omvat, genaamd het quotiëntenlichaam of breukenlichaam van