Arcsinus

De arcsinus, ook boogsinus, aangeduid door $\mathrm {asin} ,\arcsin ,\mathrm {bgsin}$ of $\sin ^{-1}$, is een cyclometrische functie in de wiskunde die de inverse functie is van de sinus indien het domein daarvan beperkt wordt tot het interval $[-\pi /2,\pi /2]$. Deze beperking is nodig vanwege het periodieke karakter van de sinus. Het resultaat van de arcsinus is de hoek tussen $-\pi /2$ en $\pi /2$ waarvan de sinus het argument als waarde heeft. Het domein is $[-1,1]$ en het bereik is $[-\pi /2,\pi /2]$.

De grafiek van $y=\arcsin x$ is het spiegelbeeld van de grafiek van de beperkte sinus ten opzichte van de lijn $y=x$.

Definitie

De functie $\arcsin$ is gedefinieerd voor $x\in [-1,1]$ door de relatie

$\arcsin(x)=\alpha \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha \in [-{\tfrac {1}{2}}\pi ,{\tfrac {1}{2}}\pi ]{\mbox{ en }}\sin(\alpha )=x$

In woorden: de hoek of boog waarvan de sinus $x$ is, is gelijk aan $\alpha$.

Machtreeks

De arcsinus heeft de reeksontwikkeling:

$\arcsin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+{\frac {1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}(2n+1)n!}}x^{2n}$

Daarin is $\Gamma$ de gammafunctie.

Afgeleide

De afgeleide van de arcsinus is:

${{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\arcsin(x)={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

voor $x\in (-1,1)$.

Voetnoten

Wiskundige functies