Ophefbare singulariteit

In de complexe analyse is een ophefbare singulariteit (soms verwijderbare singulariteit genoemd) van een holomorfe functie een punt waarin deze functie ongedefinieerd is, maar waarin zij zo gedefinieerd kan worden dat zij holomorf blijft op het met dit singuliere punt uitgebreide domein.

De functie

bijvoorbeeld heeft een singulariteit in . Deze singulariteit kan worden opgeheven door te definiëren. De resulterende functie, aangeduid als , is een continue, in feite holomorfe functie.

DefinitieBewerken

Als   een open deelverzameling van het complexe vlak is,   een punt van   is en   een holomorfe functie is, dan wordt   een ophefbare singulariteit voor   genoemd, indien er een holomorfe functie   bestaat, die samenvalt met   op  . In dat geval heet   holomorf uitbreidbaar in  .

Stelling van RiemannBewerken

De stelling van Riemann geeft aan wanneer een singulariteit ophefbaar is.

StellingBewerken

Zij  ,   en   als in de bovenstaande definitie. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:

  1.   is holomorf uitbreidbaar in het punt  .
  2.   is continu uitbreidbaar in  .
  3.   is begrensd in een omgeving van  .
  4.  .
Bewijs

Gemakkelijk is in te zien dat: 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4). Voor het bewijs van 4) ⇒ 1) bedenken we dat het voldoende is aan te tonen dat   analytisch is in  , dat wil zeggen dat   een machtreeksontwikkeling heeft in  . We definiëren daartoe:

 

Dan is:

 ,

waarin  , volgens 4), een continue functie is op  . Dus is   holomorf op   en heeft een Taylorreeksontwikkeling rond  :

 

Maar dan is   een holomorfe uitbreiding van   in  .

Zie ookBewerken