Begrensdheid

Diverse takken van de wiskunde gebruiken het adjectief begrensd om aan te geven dat een object eindige afmetingen heeft.

Begrensde verzameling (boven) en onbegrensde verzameling (onder)

Begrensde verzamelingBewerken

In de meetkunde heet een deelverzameling   van het vlak of de ruimte begrensd als er een bovengrens   bestaat voor alle onderlinge afstanden tussen punten van  :

 

De verzameling van dergelijke getallen   vormt een gesloten halve rechte, en het minimum van die rechte is de diameter van  .

Bovenstaande definitie maakt geen gebruik van de bijzondere vorm van de afstandsfunctie van de Euclidische ruimte, en gaat dus ongewijzigd over op willekeurige (pseudo-)metrische ruimten.

Begrensde functieBewerken

Een reële functie   heet begrensd als haar waardebereik (beeld) een begrensde deelverzameling van   is, t.t.z. als er getallen   bestaan zodat  . De kleinst mogelijk bovengrens   heet supremum van  , de grootst mogelijke ondergrens   is het infimum van  .

Deze definitie van begrensdheid gaan ongewijzigd over op willekeurige afbeeldingen tussen een verzameling   en een (pseudo)metrische ruimte  .

Begrensde deelverzameling van een topologische vectorruimteBewerken

In een lokaal convexe topologische vectorruimte wordt de topologie voortgebracht door een scheidende familie seminormen. Elke seminorm brengt een pseudometriek   voort. In dergelijke ruimten zijn de volgende twee voorwaarden op een deelverzameling   gelijkwaardig:

  •   is begrensd in elk van de pseudometrische ruimten afzonderlijk;
  • Voor elke omgeving   van de nulvector bestaat een schaalfactor   zodat  .

De tweede voorwaarde heeft nog zin in algemene topologische vectorruimten, en geldt daar als definitie van begrensdheid.

Begrensde lineaire operatorBewerken

Een lineaire afbeelding   tussen twee topologische vectorruimten   en   (operator) heet begrensd als ze begrensde delen van   afbeeldt op begrensde delen van  .

Als   en   Banachruimten zijn, dan is dit gelijkwaardig met de eis dat   continu is. In het algemeen is elke continue lineaire operator begrensd, maar niet omgekeerd.

Essentieel begrensdBewerken

Als het domein van een functie de structuur van een maatruimte   draagt, zijn we geïnteresseerd in de vraag of de functie begrensd is "op een nulverzameling na". Men noemt een functie   essentieel begrensd als er een begrensde functie bestaat waaraan ze bijna overal gelijk is:

 

Bovenstaande uitdrukking heet het essentieel supremum van  . Het is het supremum van de absolute waarde van   op eventuele nulverzamelingen na. Equivalentieklassen van essentieel begrensde functies vormen de ruimte   (zie Lp-ruimte).