Begrensdheid
In de wiskunde is een object begrensd als het eindige afmetingen heeft.
Begrensde verzameling
bewerkenIn de meetkunde heet een deelverzameling van het vlak of de ruimte begrensd als er een bovengrens bestaat voor alle onderlinge afstanden tussen punten van :
De verzameling van dergelijke getallen vormt een gesloten halve rechte, en het minimum van die rechte is de diameter van .
Bovenstaande definitie maakt geen gebruik van de bijzondere vorm van de afstandsfunctie van de Euclidische ruimte, en gaat dus ongewijzigd over op willekeurige (pseudo-)metrische ruimten.
Begrensde functie
bewerkenEen reële functie heet begrensd als haar waardebereik (beeld) een begrensde deelverzameling van is, t.t.z. als er getallen bestaan zodat . De kleinst mogelijk bovengrens heet supremum van , de grootst mogelijke ondergrens is het infimum van .
Deze definitie van begrensdheid gaan ongewijzigd over op willekeurige afbeeldingen tussen een verzameling en een (pseudo)metrische ruimte .
Begrensde deelverzameling van een topologische vectorruimte
bewerkenIn een lokaal convexe topologische vectorruimte wordt de topologie voortgebracht door een scheidende familie seminormen. Elke seminorm brengt een pseudometriek voort. In dergelijke ruimten zijn de volgende twee voorwaarden op een deelverzameling gelijkwaardig:
- is begrensd in elk van de pseudometrische ruimten afzonderlijk;
- Voor elke omgeving van de nulvector bestaat een schaalfactor zodat .
De tweede voorwaarde heeft nog zin in algemene topologische vectorruimten, en geldt daar als definitie van begrensdheid.
Begrensde lineaire operator
bewerkenEen lineaire afbeelding tussen twee topologische vectorruimten en (operator) heet begrensd als ze begrensde delen van afbeeldt op begrensde delen van .
Als en Banachruimten zijn, dan is dit gelijkwaardig met de eis dat continu is. In het algemeen is elke continue lineaire operator begrensd, maar niet omgekeerd.
Essentieel begrensd
bewerkenAls het domein van een functie de structuur van een maatruimte draagt, zijn we geïnteresseerd in de vraag of de functie begrensd is "op een nulverzameling na". Men noemt een functie essentieel begrensd als er een begrensde functie bestaat waaraan ze bijna overal gelijk is:
Bovenstaande uitdrukking heet het essentieel supremum van . Het is het supremum van de absolute waarde van op eventuele nulverzamelingen na. Equivalentieklassen van essentieel begrensde functies vormen de ruimte (zie Lp-ruimte).