Getransponeerde matrix

In de lineaire algebra is de getransponeerde matrix, meestal kortweg de getransponeerde genoemd, van een matrix $A$ de matrix $A^{\text{T}}$, ook geschreven als $A^{tr},\ ^{t}\!\!A$ of $A'$ die ontstaat door een van de onderstaande equivalente acties uit te voeren:

• Schrijf de rijen van $A$ als de kolommen van $A^{\text{T}}$
• Schrijf de kolommen van $A$ als de rijen van $A^{\text{T}}$
• Als $A$ een vierkante matrix is: spiegel $A$ om zijn hoofddiagonaal om zo $A^{\text{T}}$ te verkrijgen.

De getransponeerde matrix $A^{\text{T}}$ van een matrix $A$ wordt verkregen door de elementen langs de hoofddiagonaal te spiegelen. Als men deze procedure voor de tweede keer uitvoert, is het resultaat de oorspronkelijke matrix $A$.

Definitie

De getransponeerde matrix van een $m\times n$-matrix $A$ is de $n\times m$-matrix $A^{\text{T}}$ gedefinieerd door:

$A_{ij}^{\text{T}}=A_{ji}$ voor $1\leq i\leq n,\quad 1\leq j\leq m.$

Voorbeelden

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\text{T}}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\text{T}}={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$

Eigenschappen

Voor de matrices $A$ en $B,$ en de scalair $c$ gelden de volgende eigenschappen van de transpositie-operatie:

1. $(A^{\text{T}})^{\text{T}}=A$

   De getransponeerde matrix van een getransponeerde matrix is de oorspronkelijke matrix. Transponeren is een involutie (een operatie die haar eigen inverse is).

2. $(A+B)^{\text{T}}=A^{\text{T}}+B^{\text{T}}$

   Transponeren behoudt optelling.

3. $(AB)^{\text{T}}=B^{\text{T}}A^{\text{T}}$

   Merk op dat de volgorde van de factoren omdraait. Hieruit kan afgeleid worden dat een vierkante matrix $A$ inverteerbaar is dan en slechts dan als $A^{\text{T}}$ inverteerbaar is, en in dat geval is $(A^{-1})^{\text{T}}=(A^{\text{T}})^{-1}.$ Het is relatief eenvoudig om dit resultaat uit te breiden naar het algemenere geval van meer dan twee matrices; dan geldt $(AB\ldots C)^{\text{T}}=C^{\text{T}}\ldots B^{\text{T}}A^{\text{T}}.$

4. $(cA)^{\text{T}}=cA^{\text{T}}$

   De getransponeerde van een scalair is dezelfde scalair. Samen met (2) volgt daaruit dat transponeren een lineaire afbeelding is van de ruimte van $m\times n$-matrices naar de ruimte van alle $n\times m$-matrices.

5. $\det(A^{\text{T}})=\det(A)$

   De determinant van een vierkante matrix is gelijk aan de determinant van zijn getransponeerde matrix.

6. Het inwendig product van twee kolomvectoren $a$ en $b$ kan worden berekend als

   $a\cdot b=a^{\mathrm {T} }b$

7. Als de matrix $A$ alleen reële elementen heeft, dan is $A^{\text{T}}A$ een positief-semidefiniete matrix.
8. Als $A$ een matrix is over een lichaam/veld, dan is $A$ gelijksoortig met $A^{\text{T}}.$
9. $(A^{\text{T}})^{-1}=(A^{-1})^{\text{T}}$

   Voor een inverteerbare matrix $A$ is de getransponeerde matrix van de inverse de inverse van de getransponeerde.

10. Als $A$ een vierkante matrix is, dan zijn de eigenwaardes gelijk aan de eigenwaardes van zijn getransponeerde.

Matrices met bijzondere eigenschappen onder transpositie

Een vierkante matrix die gelijk is aan zijn getransponeerde wordt een symmetrische matrix genoemd; dat wil zeggen dat $A$ symmetrisch is als geldt

$A^{\text{T}}=A$

Een vierkante matrix waarvan getransponeerde ook zijn inverse is, wordt een orthogonale matrix genoemd; dat wil zeggen dat de matrix $G$ orthogonaal is als geldt

$GG^{\text{T}}=G^{\text{T}}G=I$ (de eenheidsmatrix),

dus

$G^{\text{T}}=G^{-1}=I$

en de kolommen van $G$ zijn orthonormaal.

Een vierkante matrix die gelijk is aan de tegengestelde van zijn getransponeerde matrix, wordt een antisymmetrische matrix genoemd; dat wil zeggen dat de matrix $A$ antisymmetrisch is als geldt

$A^{\text{T}}=-G$

De geconjugeerde getransponeerde matrix $A^{*}$ van de complexe matrix $A$ wordt verkregen door de getransponeerde te nemen van $A$ en de complex geconjugeerde van elk matrixelement:

$A^{*}={\overline {A}}^{\text{T}}={\overline {A^{\text{T}}}}$

waarin de streep de complex geconjugeerde aanduidt.