De getransponeerde matrix van een matrix wordt verkregen door de elementen langs de hoofddiagonaal te spiegelen. Als men deze procedure voor de tweede keer uitvoert, is het resultaat de oorspronkelijke matrix .

In de lineaire algebra is de getransponeerde matrix, meestal kortweg de getransponeerde genoemd, van een matrix de matrix , ook geschreven als of die ontstaat door een van de onderstaande equivalente acties uit te voeren:

  • Schrijf de rijen van als de kolommen van
  • Schrijf de kolommen van als de rijen van
  • Als een vierkante matrix is: spiegel om zijn hoofddiagonaal om zo te verkrijgen.

DefinitieBewerken

De getransponeerde matrix van een  -matrix   is de  -matrix   gedefinieerd door:

  voor  

VoorbeeldenBewerken

  •  
  •  

EigenschappenBewerken

Voor de matrices   en   en de scalair   gelden de volgende eigenschappen van de transpositie-operatie:

  1.  
    De getransponeerde matrix van een getransponeerde matrix is de oorspronkelijke matrix. Transponeren is een involutie (een operatie die haar eigen inverse is).
  2.  
    Transponeren behoudt optelling.
  3.  
    Merk op dat de volgorde van de factoren omdraait. Hieruit kan afgeleid worden dat een vierkante matrix   inverteerbaar is dan en slechts dan als   inverteerbaar is, en in dat geval is   Het is relatief eenvoudig om dit resultaat uit te breiden naar het algemenere geval van meer dan twee matrices; dan geldt  
  4.  
    De getransponeerde van een scalair is dezelfde scalair. Samen met (2) volgt daaruit dat transponeren een lineaire afbeelding is van de ruimte van  -matrices naar de ruimte van alle  -matrices.
  5.  
    De determinant van een vierkante matrix is gelijk aan de determinant van zijn getransponeerde matrix.
  6. Het inwendig product van twee kolomvectoren   en   kan worden berekend als
     
  7. Als de matrix   alleen reële elementen heeft, dan is   een positief-semidefiniete matrix.
  8. Als   een matrix is over een lichaam/veld, dan is   gelijksoortig met  
  9.  
    Voor een inverteerbare matrix   is de getransponeerde matrix van de inverse de inverse van de getransponeerde.
  10. Als   een vierkante matrix is, dan zijn de eigenwaardes gelijk aan de eigenwaardes van zijn getransponeerde.

Matrices met bijzondere eigenschappen onder transpositieBewerken

Een vierkante matrix die gelijk is aan zijn getransponeerde wordt een symmetrische matrix genoemd; dat wil zeggen dat   symmetrisch is als geldt

 

Een vierkante matrix waarvan getransponeerde ook zijn inverse is, wordt een orthogonale matrix genoemd; dat wil zeggen dat de matrix   orthogonaal is als geldt

  (de eenheidsmatrix),

dus

 

en de kolommen van   zijn orthonormaal.

Een vierkante matrix die gelijk is aan de tegengestelde van zijn getransponeerde matrix, wordt een antisymmetrische matrix genoemd; dat wil zeggen dat de matrix   antisymmetrisch is als geldt

 

De geconjugeerde getransponeerde matrix   van de complexe matrix   wordt verkregen door de getransponeerde te nemen van   en de complex geconjugeerde van elk matrixelement:

 

waarin de streep de complex geconjugeerde aanduidt.