In de lineaire algebra, een onderdeel van de wiskunde, is een permutatiematrix een vierkante matrix, die in iedere rij en in iedere kolom één waarde 1 heeft en waar alle andere waarden in diezelfde rijen en kolommen gelijk zijn aan 0. Een permutatiematrix is dus behalve een vierkante ook een binaire matrix. Een permutatiematrix ontstaat door de rijen of door de kolommen van een eenheidsmatrix te permuteren.

Iedere -permutatiematrix vermenigvuldigd met een m-vector stelt een specifieke permutatie van de elementen van voor. Indien met een andere matrix wordt vermenigvuldigd permuteert de rijen of de kolommen van de andere matrix produceren. De eenheidsmatrix is ook een permutatiematrix, maar dat is evident. Het product van twee willekeurige permutatiematrices is opnieuw een permutatiematrix. Iedere permutatiematrix is een orthogonale matrix, dus is de inverse matrix van een permutatiematrix de getransponeerde matrix van .

Twee matrices en worden gelijksoortige matrices genoemd, wanneer er een permutatiematrix is, zodat .

Definitie

bewerken

Gegeven een permutatie   van   elementen,

 

De bijbehorende permutatiematrix   is

 

De invoerwaarden van   zijn allemaal gelijk zijn 0, behalve dat in rij   de waarde   gelijk is aan 1.

  is dus voor iedere   een rijvector van lengte   met een 1 op de  -de plaats en een 0 op alle andere plaatsen.

De gegeven permutatie   wordt ook geschreven als

 

Eigenschappen

bewerken

Gegeven twee permutaties   en   van   elementen en de corresponderende permutatiematrices   en  . Dan geldt voor de functiecompositie van de twee permutaties dat

 

Aangezien permutatiematrices orthogonale matrices zijn, bestaat de inverse matrix ervan en kan deze worden geschreven als

 

  vermenigvuldigen met de kolomvector   permuteert de rijen van  :

 

  vermenigvuldigen van een rijvector   permuteert de kolommen van  :

 

Voorbeelden

bewerken

Definieer de permutatiematrix  

 

Gegeven een vector  , dan is

 

waarin de elementen van   zijn gepermuteerd.

  wordt in dit geval ook geschreven als