Modulaire vorm

In de wiskunde is een modulaire vorm een (complexe) analytische functie op het bovenhalfvlak die aan een bepaald type functionaalvergelijking met betrekking tot de werking van de modulaire groep en ook aan een groeiconditie voldoet. De theorie van de modulaire vormen behoort derhalve tot de complexe analyse, maar de belangrijkste betekenis van de theorie is van oudsher in haar verbindingen met de getaltheorie. Modulaire vormen komen ook voor in andere gebieden, zoals de algebraïsche topologie en de snaartheorie.

Een modulaire functie is een modulaire vorm die invariant is met betrekking tot de modulaire groep, maar zonder de conditie dat holomorf op oneindig is. In plaats daarvan zijn modulaire functies meromorf op oneindig.

De theorie van modulaire vormen is een speciaal geval van de meer algemene theorie van de automorfe vormen, en kan daarom worden gezien als de meest concrete manifestatie van een rijke theorie van discrete groepen.

Modulaire vormen voor Bewerken

Een modulaire vorm van gewicht   voor de modulaire groep

 

is een complexwaardige functie   op het bovenhalfvlak   die voldoet aan de volgende drie voorwaarden:

  1.   is een holomorfe functie op  ;
  2. voor elke   en   met   geldt  ;
  3.   moet holomorf zijn voor  .

De laatste voorwaarde wordt ook verwoord door te zeggen dat   "holomorf aan de cusp" is, een terminologie die hieronder verder wordt toegelicht. Het gewicht   is typisch een positief geheel getal.

De tweede voorwaarde met de matrices   en   leest als respectievelijk

 

en

 

Aangezien   en   de modulaire groep   genereren is de tweede voorwaarde hierboven equivalent aan deze twee vergelijkingen. Merk op dat aangezien

 ,

modulaire vormen periodiek zijn met periode 1, en dus een Fourierreeks hebben. Merk op dat voor oneven   alleen de nul-functie aan de tweede voorwaarde kan voldoen.

Definitie in termen van roosters of elliptische krommenBewerken

Een modulaire vorm kan op equivalente wijze worden gedefinieerd als een functie   uit de verzameling van roosters   in   (dat wil zeggen ondergroepen van   die isomorf zijn met  ) met de verzameling van complexe getallen die aan bepaalde voorwaarden voldoet:

  1. Als men het rooster   beschouwt dat door een constante   wordt gegenereerd; en een variabele  , dan is   een analytische functie van  .
  2. Als   een niet-nulzijnd complex getal is en αΛ het rooster is dat wordt verkregen door elk element van   met   te vermenigvuldigen, dan geldt  , waarin   een constante is (meestal een positief geheel getal), die men het gewicht van de modulaire vorm noemt.
  3. De absolute waarde van   blijft van boven begrensd, zolang de absolute waarde van het kleinste niet-nulzijnde element in   wegbegrensd wordt van 0.

Het belangrijkste idee in het bewijzen van de gelijkwaardigheid van de twee definities is dat een dergelijke functie   bepaald wordt door haar waarden op roosters van de modulaire vorm  , waarbij  ; dit als een gevolg van de eerste eigenschap.

Modulaire functiesBewerken

Wanneer het gewicht   gelijk is aan nul kan worden aangetoond dat de enige modulaire vormen constante functies zijn. Het weglaten van de eis dat   holomorf moet zijn, leidt tot het begrip modulaire functies. Een functie   wordt dan en slechts dan modulair genoemd als aan de volgende eigenschappen voldaan is:

  1.   is meromorf in het bovenhalfvlak  .
  2. Voor elke matrix   in the modulaire groep  ,  .
  3. Zoals hierboven aangegeven, impliceert de tweede conditie dat   periodiek is, en daarom een Fourierreeks heeft. De derde conditie is dat deze reeks van de vorm
     
    is. Het wordt vaak beschreven in termen van   (het kwadraat van de nome),
     

Hieraan wordt ook gerefereerd als de  -expansie[1] van  . De coëfficiënten   staan bekend als de Fourier-coëfficiënten van  , en het getal   wordt de orde van de pool van   in   genoemd. Deze conditie wordt vaak "meromorf aan de cusp" genoemd. Dit betekent dat alleen een eindig aantal coëfficiënten van termen van negatieve-exponenten ongelijk aan nul zijn, zodat de  -expansie van beneden begrensd is, wat garandeert dat de expansie meromorf is in  .[2]

OverigBewerken

Gehele vormenBewerken

Als   holomorf is op de cusp (dat wil zeggen geen pool heeft in  ), wordt het een volledige modulaire vorm genoemd.

Als   meromorf, maar niet holomorf is op de cusp, wordt het een niet-volledige modulaire vorm genoemd. De j-invariant is bijvoorbeeld een niet-volledige modulaire vorm met gewicht 0 en een enkelvoudige pool in  .

Automorfe factoren en andere veralgemeningenBewerken

Andere gebruikelijke veralgemeningen staan toe dat het gewicht   geen geheel getal hoeft te zijn, en staan ook toe dat een multiplier   met   in de transformatie verschijnt, zodanig dat

 

Functies van de modulaire vorm   staan bekend als automorfe factoren.

Functies zoals de Dedekind-η-functie, een modulaire vorm van gewicht 1/2, kunnen door de theorie worden ingepast door automorfe factoren toe te staan. Laat   bijvoorbeeld een Dirichlet-karakter mod   zijn. Een modulaire vorm van gewicht  , niveau   (of niveaugroep  ) met nebentypus   is een holomorfe functie   op het bovenhalfvlak zodanig dat voor enige

 

en enige   in het bovenhalfvlak geldt dat

 

en dat   een holomorfe functie is op alle cusps; wanneer de modulaire vorm op alle cusps verdwijnt, wordt het een cuspvorm genoemd.

VoorbeeldenBewerken

De eenvoudigste voorbeelden van modulaire vormen zijn de eisenstein-reeksen. Voor elk even geheel getal   definieert men   als de som van   over alle vectoren   van  , ongelijk aan 0:

 

De conditie   is nodig voor convergentie; de conditie dat   even is voorkomt dat   wegvalt tegen  .

Een even unimodulair rooster   in   is een rooster dat wordt gegenereerd door   vectoren, die de kolommen van een matrix met determinant 1 vormen, en aan de voorwaarde voldoet dat het kwadraat van de lengte van elke vector in   een even geheel getal is. Als een gevolg van de Poisson-sommatieformule is de thèta-functie

 

een modulaire vorm van gewicht  . Het is niet zo gemakkelijk om even unimodulaire roosters te construeren, maar er is een manier: Laat   een geheel getal zijn dat deelbaar is door 8 en beschouw alle vectoren   zodanig dat   geheeltallige coördinaten heeft die of alle even of alle oneven zijn, en zodanig dat de som van de coördinaten van   een even geheel getal is. Wij noemen dit rooster  . Als   staat het rooster dat wordt gegenereerd door de wortels in het wortelsysteem, bekend onder de naam E8. Omdat er op scalaire vermenigvuldiging na slechts één modulaire vorm is met gewicht 8, is:

 ,

ondanks dat de roosters   en   niet vergelijkbaar zijn. John Milnor nam waar dat de 16-dimensionale tori die worden verkregen door   te delen door deze twee roosters, als gevolg daarvan voorbeelden zijn van compacte Riemann-variëteiten die isospectraal, maar niet isometrisch zijn.

De Dedekind-èta-functie wordt gedefinieerd als

 

Dan is de modulaire discriminant   een modulaire vorm van gewicht 12. De aanwezigheid van 24 kan worden verbonden met het Leech-rooster, dat 24 dimensies heeft. Een beroemd vermoeden van Ramanujan beweert dat de   coëfficiënten voor elk priemgetal   een absolute waarde hebben waarvoor geldt dat deze kleiner of gelijk is aan  . Dit werd gesteld door Pierre Deligne in zijn werk over de vermoedens van Weil.

De tweede en derde voorbeelden laten iets zien over het verband tussen modulaire vormen en een aantal klassieke vragen in de getaltheorie: zoals de representatie van gehele getallen door kwadratische vormen en de partitiefunctie. Het cruciale begripsmatige verband tussen modulaire vormen en getaltheorie wordt gelegd door de theorie van de Hecke-operatoren, die ook een verband legt tussen de theorie van de modulaire vormen en de representatietheorie.

GeneralisatiesBewerken

Naast het klassieke gebruik zijn er andere toepassingen van de term 'modulaire functie', bijvoorbeeld in de theorie van de Haarmaten is het een functie   die bepaald wordt door de conjugatiewerking.

  • Siegel-modulaire vormen worden op dezelfde manier met grotere symplectische groepen geassocieerd als waarop de modulaire vormen, die wij hierboven hebben besproken, geassocieerd zijn met  , met andere woorden zijn ze gerelateerd aan abelse variëteiten in dezelfde zin dat onze vormen (die soms ook elliptische modulaire vormen worden genoemd (om het punt te benadrukken) aan elliptische krommen zijn gerelateerd.
  • Jacobi-modulaire vormen zijn een mix van modulaire vormen en elliptische functies. Voorbeelden van dergelijke functies zijn zeer klassiek - de Jacobi-thèta-functies en de Fourier-coëfficiënten van Siegel-modulaire vormen van genus twee - maar het is een relatief recente waarneming dat de Jacobi-modulaire vormen een rekenkundige theorie hebben die zeer analoog zijn aan de gebruikelijke theorie van de modulaire vormen.

GeschiedenisBewerken

De theorie van de modulaire vormen werd ontwikkeld in vier perioden: allereerst in het eerste deel van de negentiende eeuw in verband met de theorie van de elliptische functies; daarna tegen het einde van de negentiende eeuw door Felix Klein en anderen op het moment dat het automorfe vorm concept (voor één variabele) langzamerhand werd begrepen; vervolgens vanaf 1925 door Erich Hecke; en ten slotte in de jaren 1960, toen de behoeften van de getaltheorie en in het bijzonder de formulering van de stelling van Shimura-Taniyama duidelijk maakten dat modulaire vormen daar een belangrijke rol in spelen.

Het bedenken van de term modulaire vorm wordt meestal toegeschreven aan Erich Hecke.

VoetnotenBewerken

  1. Elliptische en modulaire functies
  2. Een meromorfe functie kan slechts een eindig aantal termen van negatieve-exponenten in haar laurent-reeks hebben. Zij kan slechts één pool in   hebben en niet een essentiële singulariteit zoals   heeft.

ReferentiesBewerken

  • Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973. Chapter VII provides an elementary introduction to the theory of modular forms.
  • Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
  • Goro Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. Provides a more advanced treatment.
  • Stephen Gelbart, Automorphic forms on adele groups. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975. Provides an introduction to modular forms from the point of view of representation theory.
  • Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
  • Steins aantekeningen bij Ribets college Modular Forms and Hecke Operators
  • Erich Hecke, Mathematische Werke, Goettingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1970.
  • N.P. Skoruppa, D. Zagier, Jacobi forms and a certain space of modular forms, Inventiones Mathematicae, 1988, Springer