Kwadratische vorm

In de wiskunde verstaat men onder een kwadratische vorm onder meer een homogene veelterm van graad 2, zoals .

Definitie en relatie met symmetrische bilineaire vormBewerken

Een kwadratische vorm is een afbeelding   van een vectorruimte   naar haar scalairenlichaam   met de eigenschap dat er een symmetrische bilineaire vorm   op   bestaat, zodanig dat:

 

Voor zo'n B geldt:

 
 

Als de karakteristiek van   verschilt van 2 dan is deze bilineaire vorm uniek, en heet deze de met   geassocieerde bilineaire vorm. De samenhang tussen beide wordt dan weergegeven door:

 

  is een homogene afbeelding van de tweede graad:

 

Als van de vectorruimte een basis   is gegeven, dan wordt een kwadratische vorm gegeven door een symmetrische functie   die de symmetrische bilineaire vorm bepaalt.

Klassieke definitieBewerken

De klassieke analytische meetkunde bestudeert onder meer kegelsneden en kwadrieken, dit zijn nulpuntenverzamelingen van inhomogene kwadratische vormen op   resp.  . De algemene vergelijking van een vlakke kegelsnede luidt:

 .

De functie   is géén kwadratische vorm in de hogergenoemde zin, tenzij  . Het verband tussen kegelsneden en abstracte kwadratische vormen vereist een overgang van   naar het projectieve vlak  . Hierin wordt elk punt weergegeven door een drietal homogene coördinaten   waarbij twee drietallen hetzelfde punt voorstellen als ze een reëel veelvoud van elkaar zijn. Bovenstaande vergelijking wordt dan herschreven als

 .

Dit is wel degelijk een kwadratische vorm op  . Wegens de homogeniteit bestaat de nulpuntsverzameling uit vectorrechten (eendimensionale deelruimten van  ), dus de vergelijking bepaalt ondubbelzinnig een deelverzameling van  .

Matrix van een bilineaire vormBewerken

Als   een eindigdimensionale vectorruimte is, en   is een basis voor  , dan worden een symmetrische bilineaire vorm   en zijn bijhorende kwadratische vorm   volledig bepaald door de   getallen

 .

Deze getallen worden gewoonlijk genoteerd in een symmetrische matrix met grootte  . Omgekeerd correspondeert met elke symmetrische  -matrix een symmetrische bilineaire vorm.

Als de karakteristiek van   verschilt van 2 dan is er een 1-op-1 relatie tussen deze matrices en de kwadratische vormen.

VoorbeeldBewerken

De matrix van de hogergenoemde kwadratische vorm van een kegelsnede ten opzichte van de canonieke basis   is

 

Basisovergangen; reguliere vormenBewerken

De matrix van een kwadratische vorm is afhankelijk van de gekozen basis. Zij   de matrix met betrekking tot de ene basis,   de matrix met betrekking tot andere basis en   de matrix die de coördinatentransformatie definieert (de kolommen van   zijn de coördinaten van de nieuwe basisvectoren ten opzichte van de oude basis). Dan geldt

 

Men kan aantonen dat er een basis van   bestaat waarin de matrix diagonaal is (de elementen   met   zijn allemaal 0). De diagonaal-elementen zijn de eigenwaarden van  .

Een kwadratische vorm heet regulier als zijn matrix regulier is, dat wil zeggen dat zijn determinant verschilt van 0. Uit bovenstaande formule blijkt dat deze eigenschap onafhankelijk is van de gekozen basis, want de coördinatentransformatie   is vanzelf regulier.

Positief definiete kwadratische vormenBewerken

Als   een reële vectorruimte is, dan is een kwadratische vorm positief definiet als en slechts als  , dit geldt als en slechts als de bijbehorende bilineaire vorm dat is, en als en slechts als alle eigenwaarden strikt positief zijn.

Euclidische ruimteBewerken

In de n-dimensionale reële coördinatenruimte is een positief definiete kwadratische vorm van de vorm xTAx, met A een positief-definiete matrix.

VoorbeeldBewerken

Een kegelsnede met vergelijking

 

is leeg (de vergelijking heeft geen oplossingen) als haar kwadratische vorm of zijn tegengestelde positief definiet is.

Voorbeeld met lichaam met karakteristiek 2Bewerken

Laat K = {0,1} zijn. Dit is een lichaam met karakteristiek 2. Hierbij geldt niet dat bij een kwadratische vorm Q eenduidig een symmetrische bilineaire vorm B hoort. Laat de vectorruimte   zijn, dan zijn er vier kwadratische vormen en acht symmetrische bilineaire vormen, waaronder   en  , beide geassocieerd met  . De afbeelding   is volgens bovenstaande definitie geen kwadratische vorm. Soms wordt in het eindigdimensionale geval een kwadratische vorm als veelterm gedefinieerd, waarbij   wel beschouwd wordt als kwadratische vorm.

Naast de vier kwadratische vormen, die homogene functies van de tweede graad zijn, zijn er nog vier homogene functies van de tweede graad.