Homogeniteit (wiskunde)

wiskunde

In de lineaire algebra heet een functie homogeen als voor alle geldt:

Homogeniteit is een noodzakelijke, maar geen voldoende voorwaarde voor lineariteit.

Meer algemeen zegt men dat een functie homogeen is van de graad indien voor alle geldt:

Hierin kan elk getal zijn dat in de gegeven context zinvol als een exponent kan worden geïnterpreteerd, maar meestal beperkt men zich tot natuurlijke getallen.

Homogeniteit kan ook gegeneraliseerd worden voor functies van meerdere veranderlijken. Zo zegt men dat de functie van twee veranderlijken homogeen is van de graad indien voor alle geldt:

Voorbeeld

De functie

is homogeen van de graad 3.

Formele definitieBewerken

Zij   een natuurlijk getal. De functie   tussen twee vectorruimten over een lichaam/veld   (of algemener, tussen twee modulen over een ring  ) heet homogeen van de graad   als voor alle   en alle   geldt

 

Ten behoeve van deze definitie wordt   gesteld.

Merk op dat het verschil maakt of het gaat om een complexe functie over de complexe getallen of over de corresponderende functie van de verzameling tweedimensionale reële vectoren naar zichzelf: homogeen in de eerste graad in het eerste geval impliceert homogeen in de eerste graad in het tweede geval, maar niet omgekeerd.

Voorbeelden en tegenvoorbeeldBewerken

  • De veeltermfunctie   is homogeen van de graad 3 (men zegt ook: homogeen van de derde graad).
  • Iedere lineaire afbeelding tussen twee vectorruimten (of modulen) is homogeen van de graad 1.
  • De homogene functies van de graad 0 zijn precies de constante afbeeldingen.
  • Een homogene functie van de graad 1 of hoger beeldt de nulvector altijd af op de nulvector.
  • Een veeltermfunctie in een of meer veranderlijken is dan en slechts dan homogeen van de graad   als iedere afzonderlijke eenterm de graad   heeft.
  • De veeltermfunctie   is niet homogeen, want de eenterm   heeft de graad 1 en de eenterm 1 heeft de graad 0.

Voorbeelden van afbeeldingen van   naar   die wel homogeen van de graad 1 zijn, maar niet lineair:

  •  
  •   met  .
  •  .

De eerste is niet continu, de tweede en derde zijn dat wel.

Een afbeelding  , of in poolcoördinaten  , van   naar   die homogeen is van een bepaalde graad   wordt gegeven door bijvoorbeeld alle waarden   (dus op de eenheidscirkel), of alle waarden   en de waarde  , of alle waarden   en de waarde   (waarbij iedere combinatie van waarden een homogene afbeelding van de betreffende graad oplevert), want:

  •  
  •   (voor  )
  •   (voor  )

Bovenstaande afbeeldingen worden als afbeeldingen die homogeen van graad 1 zijn dus geheel bepaald door:

  •   en  
  •   en  
  •   en  

en ook door:

  •   en  
  •   en  
  •   en  

Als continue afbeeldingen die homogeen van graad 1 zijn worden de tweede en derde steeds uiteraard geheel bepaald door de eerste formule, want de waarden in losse punten en lijnen worden dan bepaald door de limiet te nemen (mits die, zoals hier, bestaan, en de afbeelding dus continu te maken is).

Afgeleide van een homogene functieBewerken

Als   de reële of complexe  -dimensionale coördinatenruimte is, dan kan het argument   uitgeschreven worden als een  -tupel

 

Als bovendien   een genormeerde ruimte is, en   is differentieerbaar en homogeen van de graad   dan is de afgeleide eveneens homogeen, maar dan van de graad   Dit geldt eveneens voor de afzonderlijke partiële afgeleiden.

Positieve homogeniteitBewerken

Als   een reële vectorruimte is, onderscheidt men ook het verwante (maar ruimere) begrip positieve homogeniteit. Met de notatie van hierboven heet de functie   positief homogeen van de graad   als voor alle   geldt;

 

Een homogene functie van de graad   is positief homogeen van de graad   maar het omgekeerde is niet noodzakelijk.

VoorbeeldBewerken

Een norm   op een reële vectorruimte is een positief homogene functie van de graad 1, maar geen homogene functie van de graad 1 als er minstens één vector   verschillend van de nulvector bestaat; immers, dan is  

Homogene functiestelling van EulerBewerken

Zij   een positief homogene reëelwaardige functie van graad   op de  -dimensionale reële coördinatenruimte, en noteer   voor de vectorwaardige functie waarvan de componenten de partiële afgeleiden van   zijn, dan is

 

In componenten,