Positief-definiete matrix

In de lineaire algebra wordt een reële -matrix positief-definiet genoemd, als de kwadratische vorm met een kolomvector in de -dimensionale euclidische ruimte, positief-definiet is, dus als als niet gelijk is aan de nulvector.

Meestal wordt verondersteld dat een symmetrische matrix is, maar een positief-definiete matrix hoeft niet symmetrisch te zijn:

Bijvoorbeeld: De matrix van een vlakke rotatie over een hoek 0° ⩽ < 90° is niet symmetrisch, maar wel positief definiet.

Een vierkante matrix kan altijd geschreven worden als de som van een symmetrische matrix en een antisymmetrische matrix , waarin de getransponeerde matrix van is. De matrix is dan en slechts da positief-definiet als het symmetrische deel van positief-definiet is.

Indien in de definitie "" vervangen wordt door "" spreekt men van een negatief-definiete matrix.

Bij het interpreteren van of kan het ook nuttig zijn de volgende relatie in gedachten te houden: waarbij

KenmerkenBewerken

  • Een symmetrische matrix   is positief-definiet als en slechts als alle eigenwaarden van   strikt positief zijn.
Hieruit volgt dat de determinant van een symmetrische positief-definiete matrix strikt positief is (de determinant is gelijk aan het product van de eigenwaarden), en dat dergelijke matrix inverteerbaar is. De inverse matrix van een positief-definiete matrix is ook positief-definiet.
  • Matrix   is positief-definiet als en slechts als de determinant van elke leidende hoofdminor van   strikt positief is.
Als   een positief-definiete matrix is, dan is elke matrix die uit   wordt verkregen door een aantal rijen en corresponderende kolommen uit   weg te laten, positief-definiet. In het bijzonder zijn de diagonale elementen van   strikt positief.
  • Een positief-definiete matrix   heeft een unieke decompositie   in een benedendriehoeksmatrix   (met 1-en op de hoofddiagonaal) en een bovendriehoeksmatrix   met niet-nul-elementen op de diagonaal.
De Cholesky-decompositie van een positief-definiete matrix heeft de vorm   waarin   een benedendriehoeksmatrix is.
  • Een matrix   is dan en slechts dan positief-definiet als er een inverteerbare matrix   bestaat zodanig dat  

EigenschappenBewerken

Enkele andere eigenschappen van positief-definiete matrices:

  • Het product van een positief-definiete matrix met een positief reëel getal is positief-definiet.
  • De som van twee positief-definiete  -matrices is positief-definiet.
  • Als   positief-definiet is, dan is voor elk positief geheel getal   ook   positief-definiet.
  • Als   positief-definiet is, bestaat voor elk positief geheel getal   de matrix   (d.w.z. er bestaat een matrix   zodanig dat  ).

Merk op dat het product van twee positief-definiete matrices niet noodzakelijk een positief-definiete matrix oplevert. Bijvoorbeeld:

 
 

zijn beide positief-definiet. Hun product

 

is echter niet positief-definiet.

Voorbeelden van positief-definiete matricesBewerken

Semi-definiete matrixBewerken

Men heeft een positief semi-definitieve matrix   wanneer de strikt positieve eis in de definitie vervangen wordt door   Deze matrices kunnen eigenwaarden hebben die nul zijn.

Een matrix is negatief semi-definiet indien   voor alle niet-zero  

BelangBewerken

  • De positief-definietheid van de Hessiaan van een scalaire functie van   variabelen is een voldoende voorwaarde voor de strikte convexiteit van die functie.

BronnenBewerken