Positief-definiete matrix

In de lineaire algebra wordt een reële -matrix positief-definiet genoemd, als de kwadratische vorm met een kolomvector in de -dimensionale euclidische ruimte, positief-definiet is, dus als als niet gelijk is aan de nulvector.

Meestal wordt verondersteld dat een symmetrische matrix is, maar een positief-definiete matrix hoeft niet symmetrisch te zijn:

Bijvoorbeeld: De matrix van een vlakke rotatie over een hoek is niet symmetrisch, maar wel positief definiet.

Een vierkante matrix kan altijd geschreven worden als de som van een symmetrische matrix en een antisymmetrische matrix , waarin de getransponeerde matrix van is. De matrix is dan en slechts dan positief-definiet als het symmetrische deel van positief-definiet is.

Indien in de definitie "" vervangen wordt door "", spreekt men van een negatief-definiete matrix.

Bij het interpreteren van of kan het ook nuttig zijn de volgende relatie in gedachten te houden:

,

waarbij .

KenmerkenBewerken

  • Een symmetrische matrix   is positief-definiet als en slechts als alle eigenwaarden van   strikt positief zijn.
    Hieruit volgt dat de determinant van een symmetrische positief-definiete matrix strikt positief is (de determinant is gelijk aan het product van de eigenwaarden), en dat dergelijke matrix inverteerbaar is. De inverse matrix van een positief-definiete matrix is ook positief-definiet.
  • Matrix   is positief-definiet als en slechts als de determinant van elke leidende hoofdminor van   strikt positief is.
Als   een positief-definiete matrix is, dan is elke matrix die uit   wordt verkregen door een aantal rijen en corresponderende kolommen uit   weg te laten, positief-definiet. In het bijzonder zijn de diagonale elementen van   strikt positief.
  • Een positief-definiete matrix   heeft een unieke decompositie   in een benedendriehoeksmatrix   (met 1-en op de hoofddiagonaal) en een bovendriehoeksmatrix   met niet-nul-elementen op de diagonaal.
De Cholesky-decompositie van een positief-definiete matrix heeft de vorm   waarin   een benedendriehoeksmatrix is.
  • Een matrix   is dan en slechts dan positief-definiet als er een inverteerbare matrix   bestaat zodanig dat  

EigenschappenBewerken

Enkele andere eigenschappen van positief-definiete matrices:

  • Het product van een positief-definiete matrix met een positief reëel getal is positief-definiet.
  • De som van twee positief-definiete  -matrices is positief-definiet.
  • Als   positief-definiet is, dan is voor elk positief geheel getal   ook   positief-definiet.
  • Als   positief-definiet is, bestaat voor elk positief geheel getal   de matrix   (d.w.z. er bestaat een matrix   zodanig dat  ).

Merk op dat het product van twee positief-definiete matrices niet noodzakelijk een positief-definiete matrix oplevert. Bijvoorbeeld:

 
 

zijn beide positief-definiet. Hun product

 

is echter niet positief-definiet.

Voorbeelden van positief-definiete matricesBewerken

Semi-definiete matrixBewerken

Men heeft een positief semi-definitieve matrix   wanneer de strikt positieve eis in de definitie vervangen wordt door   Deze matrices kunnen eigenwaarden hebben die nul zijn.

Een matrix is negatief semi-definiet indien   voor alle niet-zero  

BelangBewerken

  • De positief-definietheid van de Hessiaan van een scalaire functie van   variabelen is een voldoende voorwaarde voor de strikte convexiteit van die functie.

BronnenBewerken