Symmetrische functie

De definitie van een symmetrische functie hangt van het aantal argumenten af waarop de functie werkt. De definitie voor een symmetrische functie met een argument is anders dan voor een symmetrische functie met meer argumenten.

  • Een symmetrische functie in een variabele is een functie, waarvan de grafiek symmetrisch is om de -as, dus zodat voor alle in het domein van geldt dat .
  • Een symmetrische functie in meer variabelen is een functie of afbeelding waarvan de functiewaarde niet verandert bij onderlinge verwisseling van de argumenten.

Een variabele

bewerken

Een symmetrische functie   in een variabele   is een functie die symmetrisch is om de  -as, dus zodat voor alle   in het domein van   geldt dat  .

Een functie   in een variabele is antisymmetrisch wanneer voor alle   geldt dat  . Een antisymmetrische functie is puntsymmetrisch om de oorsprong.

Meer variabelen

bewerken

Definitie

bewerken

De functie   gedefinieerd op het  -voudige cartesische product van een verzameling   heet symmetrisch, als voor alle   en permutaties   van de getallen   geldt:

 

Van een symmetrische functie in   variabelen is de functiewaarde van ieder n-tupel   dus gelijk aan die voor alle permutaties van  .

Voorbeelden

bewerken
  • De functie
 
is symmetrisch. Het verwisselen van de variabelen verandert de uitkomst niet. Maar voor de functie
 
is dat niet zo, want
  en  
zijn niet voor alle mogelijke invoerwaarden van   en   hetzelfde.
  • Elementair symmetrische polynomen
  •  
  • Het inwendige product   is symmetrisch in de twee vectoren   en  .

Antisymmetrie

bewerken

Een functie kan ook antisymmetrisch zijn. Verwisseling van twee variabelen geeft dan een tekenwisseling in de functiewaarde. Een eenvoudig voorbeeld is

 

want

 

Bij antisymmetrische functies van meer dan twee variabelen volgt het teken van het resultaat de pariteit van de permutatie, dat wil zeggen of het aantal verwisselingen in de permutatie even of oneven is.

Bewerking

bewerken

Een functie van twee variabelen wordt soms in infixnotatie geschreven en een binaire operatie genoemd. Als de functie symmetrisch is wordt de operatie commutatief genoemd.

Een functie van meer dan twee variabelen kan worden gemaakt door het herhaald toepassen van een binaire operatie, bijvoorbeeld  . Om op deze manier een symmetrische functie te krijgen moet de operatie behalve commutatief ook associatief zijn. Merk op dat associatieve operaties niet commutatief hoeven te zijn. Een voorbeeld is matrixvermenigvuldiging, waar het resultaat over het algemeen anders is bij een verwisseling van linker en rechter operand.

Websites

bewerken