Symmetrische matrix
Een symmetrische matrix is in de lineaire algebra een vierkante matrix die symmetrisch is ten opzichte van de hoofddiagonaal. Een symmetrische matrix is gelijk aan zijn getransponeerde.
DefinitieBewerken
Een vierkante matrix noemt men symmetrisch als
of in termen van de elementen, als voor alle en geldt dat
EigenschappenBewerken
De lineaire afbeelding bepaald door een symmetrische matrix heeft een orthonormale basis van eigenvectoren. De karakteristieke veelterm heeft dan enkel reële oplossingen. Een symmetrische matrix is dus orthogonaal diagonaliseerbaar. Immers, stel dat en eigenvectoren zijn bij verschillende eigenwaarden λ respectievelijk μ van de symmetrische matrix , dan:
Omdat kan dit alleen als:
VoorbeeldBewerken
Voorbeelden van symmetrische matrices zijn:
Een speciaal type symmetrische matrix is een diagonaalmatrix, waarvan de eenheidsmatrix een eenvoudig voorbeeld is.