Symmetrische matrix

Een symmetrische matrix is in de lineaire algebra een vierkante matrix die symmetrisch is ten opzichte van de hoofddiagonaal. Een symmetrische matrix is gelijk aan zijn getransponeerde.

Definitie

Een vierkante matrix $A$ noemt men symmetrisch als

$A^{\top }=A$

of in termen van de elementen, als voor alle $r$ en $k$ geldt dat

$a_{rk}=a_{kr}$

Eigenschappen

De lineaire afbeelding bepaald door een symmetrische matrix heeft een orthonormale basis van eigenvectoren. De karakteristieke veelterm heeft dan enkel reële oplossingen. Een symmetrische matrix is dus orthogonaal diagonaliseerbaar. Immers, stel dat $x$ en $y$ eigenvectoren zijn bij verschillende eigenwaarden λ respectievelijk μ van de symmetrische matrix $A$, dan:

$\lambda \mu \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,\mu y\rangle =\langle Ax,Ay\rangle =\langle x,A^{\top }Ay\rangle =\mu ^{2}\langle x,y\rangle$

Omdat $\lambda \neq \mu$ kan dit alleen als:

$\langle x,y\rangle =0$

Voorbeeld

Voorbeelden van symmetrische matrices zijn:

${\begin{bmatrix}0&5&-1{,}7\\5&16&3\\-1{,}7&3&5\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}8&2&9{,}8&-47\\2&0&-24&7\\9{,}8&-24&82&3{,}142\\-47&7&3{,}142&-35\end{bmatrix}}$

Een speciaal type symmetrische matrix is een diagonaalmatrix, waarvan de eenheidsmatrix een eenvoudig voorbeeld is.

Zie ook

• Hermitische matrix
• Antisymmetrische matrix
• Orthogonale matrix
• Symmetrische tensor