Lijnintegraal

(Doorverwezen vanaf Kringintegraal)

Een lijnintegraal is een van de generalisaties van het klassieke (Riemannse) integraalbegrip voor meerdimensionale ruimten. Het domein van de gegeven functie is niet langer een reëel interval, maar een stuksgewijs differentieerbare kromme in een meerdimensionale ruimte (of algemener, een variëteit waarop een booglengte is gedefinieerd). Men onderscheidt een scalaire lijnintegraal van een vectoriële lijnintegraal naargelang het doorlopen veld scalair of vectorieel is.

De lijnintegraal over een scalairenveld kan men zich voorstellen als de oppervlakte onder de kromme , gelegen op een oppervlak , dat beschreven wordt door het scalairenveld.

Scalaire lijnintegraalBewerken

DefinitieBewerken

Om de lijnintegraal van de scalaire functie   over de boog   op de kromme   te bepalen, wordt de boog opgedeeld in   stukjes door de punten  . Bij deze opdeling hoort een Riemannsom

 ,

waarin   de lengte van de boog tussen de punten   en   is, en   een punt op deze boog. Als in een bepaald limietproces bij voorgaande verfijning van de opdeling de Riemannsommen convergeren, noemt men de limiet de lijnintegraal

 

Kringintegraal van een scalaire lijnintegraalBewerken

Als de kromme   waarover geïntegreerd wordt, gesloten is, heeft het beginpunt geen invloed op de lijnintegraal. Men kan dus integreren over een vrije lus. Men spreekt dan van een kringintegraal of contourintegraal, genoteerd als:

 

ParametriseringBewerken

Als de boog   geparametriseerd is door de bijectie

 ,

waarin   en   vectoren in de ruimte   zijn waarvoor   en  , kan de lijnintegraal geschreven worden als:

 

Hierin is   de parameter waarmee het door   gedefinieerde traject in de ruimte   doorlopen wordt. De waarde van een scalaire lijnintegraal is afhankelijk van de functie   en van de boog   maar niet van de gebruikte paramterisatie om die boog te doorlopen, noch van de zin waarin die doorlopen wordt.

VoorbeeldBewerken

Is een rondgang van een schroeflijn langer dan een cirkel met dezelfde straal? We geven de schroeflijn voor   door:

 
 
 

De lengte   van de boog bij één rondgang (van   naar  ) is:

 
 ,

dus zo lang als de hypotenusa van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden de spoed   en de omtrek van een cirkel met straal  . De omtrek van een cirkel is dus kleiner dan deze weglengte, indien  .

Complexe lijnintegraalBewerken

In de complexe analyse kan het product   geïnterpreteerd worden als een vermenigvuldiging van complexe getallen. Het eerste belangrijke resultaat van de complexe analyse luidt als volgt

Integraaltheorema van CauchyBewerken

Als het domein van een complex differentieerbare, holomorfe functie enkelvoudig samenhangend is (dat wil zeggen “geen gaten heeft”), dan is de lijnintegraal van die functie tussen twee gegeven punten in het domein, onafhankelijk van de gekozen weg. Een voorbeeld is het gravitatieveld. Dit theorema kan als volgt worden geformuleerd:

 

Elke kringintegraal van zo'n functie is dus gelijk aan nul.

Vectoriële lijnintegraalBewerken

DefinitieBewerken

Een vectoriële lijnintegraal in   dimensies wordt berekend aan de hand van een  -dimensionaal vectorveld   waarbij   een kromme   in een  -dimensionale ruimte doorloopt. De lijnintegraal is dan

 

Het resultaat is een scalaire grootheid want het product in de integraal is een scalair product van twee vectoren. De lijnintegraal integreert dus de lokale waarde van het vectorveld   vermenigvuldigd met een infinitesimale verplaatsing  . Als de hoek tussen deze twee vectoren kleiner is dan 90° levert dat een positieve bijdrage tot de integraal want dan is het scalair product positief. In punten waar ze loodrecht op elkaar staan is de bijdrage nul, en in punten waar de hoek groter is dan 90° is de bijdrage negatief.

EigenschappenBewerken

  • Een vectoriële lijnintegraal is afhankelijk van het vectorveld en de doorlopen kromme maar niet van de concrete parameterisatie van die kromme, i.e. de concrete parametervergelijkingen die gebruikt worden om de kromme te beschrijven.
  • Een vectoriële lijnintegraal verandert, in tegenstelling tot een scalaire lijnintegraal, van teken wanneer de kromme in de andere zin doorlopen wordt
 
  • Indien  ,   en   punten zijn op de kromme   geldt, ongeacht de onderlinge volgorde van de drie punten langsheen de kromme:
 
  • Een lijnintegraal waarvan begin- en eindpunt gelijk zijn, een zogenaamde kringintegraal, is niet noodzakelijk nul. Stel bijvoorbeeld dat een volledige cirkel wordt doorlopen. Dan zijn begin- en eindpunt gelijk maar hun respectievelijke parameterwaarden zullen verschillen, bijvoorbeeld door een verschil  . Echter, een kringintegraal in een conservatief vectorveld is wel nul.

RekenvoorbeeldBewerken

Gegeven het vectorveld  , de vlakke kromme   en de punten   en   op die kromme. Om de lijnintegraal van   langs   van   naar   te berekenen moet eerst een parametervergelijking van het traject langs   tussen die twee punten gekozen worden. Dit kan bijvoorbeeld zijn:

 
 

waarbij   ons van   naar   brengt. De lijnintegraal wordt dan:

 
 

Vectoriële lijnintegraal in een conservatief vectorveldBewerken

In een conservatief vectorveld is de lijnintegraal onafhankelijk van de gevolgde kromme   die het beginpunt   en het eindpunt   van de lijnintegraal verbindt. Dan kan de lijnintegraal gevonden worden door zelf een eenvoudige kromme   te kiezen zoals bijvoorbeeld een lijnstuk, of door eerst de potentiaalfunctie   van het conservatief veld te zoeken. Dan kan men verder gaan met:

 

Hieruit volgt ook dat een kringintegraal in een conservatief veld nul is want dan zijn de punten   en   gelijk en is dus   gelijk aan nul.

Toepassing: arbeid in het gravitatieveldBewerken

In de buurt van het aardoppervlak is de zwaartekracht uitgeoefend op een massa  , en indien de positieve zin van de vertikale coördinaatas naar boven gekozen wordt gelijk aan:

 

met   de lokale gravitatieversnelling vlak bij het aardoppervlak. Stel dat een massa   vanop een hoogte   in horizontale richting met beginsnelheid   wordt gelanceerd, dan zijn de bewegingsvergelijkingen:

 

De afgeleide (naar de tijd) van deze vector is dan:

 

De tijd   die de massa nodig heeft om de grond te bereiken kan gevonden worden door de tweede component van   gelijk aan nul te stellen zodat:

 

De arbeid   die nodig is om de massa op de grond te brengen, is dan de lijnintegraal:

 

en dit is precies het verschil in potentiële energie van de massa tussen haar begin- en eindpositie.

Dit voorbeeld kan ook anders opgelost worden, want het veld   is conservatief, met als potentiaalfunctie

 

De waarde van de lijnintegraal kan dan ook gevonden worden als

 

In dit geval is de potentiaalfunctie inderdaad de fysische potentiële energie waarbij diens nulpunt op het aardoppervlak gekozen wordt.