Hoofdmenu openen

FormuleBewerken

 
Voor een klein stukje   kan de booglengte met de stelling van Pythagoras benaderd worden

Voor een kromme in het platte vlak, gegeven door de coördinaatsfuncties   en   wordt de booglengte bepaald door een infinitesimaal klein stukje   van de kromme te integreren. Voor een klein stukje   geldt bij goede benadering volgens de stelling van Pythagoras:

 .

In de limiet is:

 ,

zodat:

 ,

mits natuurlijk de afgeleiden bestaan.

In het geval van een expliciete functie   wordt dit:

 ,

en in poolcoördinaten:

 ,

De booglengte   van de kromme tot aan het punt   wordt dan:

 

Betreft de kromme de grafiek van een (differentieerbare) functie   dan kan deze formule herschreven worden door de variabele   als parameter te kiezen. De booglengte   van   tot   wordt dan:

 .

Zelfs in de meeste eenvoudige gevallen bestaat er vaak geen gesloten vorm van deze integraal en moet er numeriek geïntegreerd worden.

VeralgemeningenBewerken

Hogere dimensiesBewerken

Bovenstaande definitie kan nagenoeg ongewijzigd worden overgedragen op krommen in de driedimensionale ruimte, of zelfs in de algemene  -dimensionale Euclidische ruimte:

 

De lengte van de kromme is opnieuw de integraal van de snelheidsvector:

 

Andere normenBewerken

Deze definitie blijft ook gelden voor algemenere normen  , en in plaats van   kunnen we zelfs een algemene genormeerde ruimte   nemen (eventueel, maar niet noodzakelijk, een reële of complexe Banachruimte) - op voorwaarde dat een duidelijke notie van differentieerbaarheid gehanteerd wordt.

Booglengte in gekromde ruimtenBewerken

Een andere veralgemening bestaat erin, de Euclidische ruimte te vervangen door een gekromde  -dimensionale gladde variëteit. De afgeleide   is dan een vector in de raakruimte, en zijn lengte wordt bepaald door de metrische tensor  

 

of een variant hierop waarbij binnen het wortelteken een absolute waarde staat, of, afhankelijk van het geval, een minteken.

Parametrisering door booglengteBewerken

Als een kromme gedefinieerd wordt door een differentieerbare functie   van een reële parameter   dan noemen we deze parametrisering regulier als de afgeleide van   nergens nul wordt op het beschouwde interval.

Bij een reguliere kromme is de functie

 

differentieerbaar, strikt stijgend en haar afgeleide   is overal strikt positief. Haar inverse functie

 

is eveneens strikt stijgend en differentieerbaar met positieve afgeleide. Dat betekent dat we de oorspronkelijke kromme   kunnen herparametriseren in termen van de booglengte   De nieuwe kromme

 

heeft dezelfde beeldverzameling in   als de oorspronkelijke kromme   maar ze heeft ook de bijkomende eigenschap dat haar snelheidsvector overal de lengte een heeft:

 

Zie ookBewerken

Boog (meetkunde) voor de berekening van de booglengte van een cirkel.