Booglengte

Booglengte is in de meetkunde de lengte van een (gedeelte van een) kromme.

Formule

Voor een klein stukje $\Delta s$ kan de booglengte met de stelling van Pythagoras benaderd worden

Voor een kromme in het platte vlak, gegeven door de coördinaatsfuncties $x(t)$ en $y(t)$ wordt de booglengte bepaald door een infinitesimaal klein stukje $\mathrm {d} s$ van de kromme te integreren. Voor een klein stukje $\Delta s$ geldt bij goede benadering volgens de stelling van Pythagoras:

$\Delta s^{2}\approx \Delta x^{2}+\Delta y^{2}$.

In de limiet is:

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}$,

zodat:

$\mathrm {d} s={\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t$,

mits natuurlijk de afgeleiden bestaan.

In het geval van een expliciete functie $y(x)$ wordt dit:

$\mathrm {d} s={\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x$,

en in poolcoördinaten:

$\mathrm {d} s={\sqrt {\rho ^{2}(\theta )+\left({\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}}}\mathrm {d} \theta$,

De booglengte $s(t_{0})$ van de kromme tot aan het punt $t=t_{0}$ wordt dan:

$s(t_{0})=\int _{0}^{t_{0}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t$

Betreft de kromme de grafiek van een (differentieerbare) functie $f,$ dan kan deze formule herschreven worden door de variabele $x$ als parameter te kiezen. De booglengte $L$ van $x=a$ tot $x=b$ wordt dan:

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\mathrm {d} x$.

Zelfs in de meeste eenvoudige gevallen bestaat er vaak geen gesloten vorm van deze integraal en moet er numeriek geïntegreerd worden.

Veralgemeningen

Hogere dimensies

Bovenstaande definitie kan nagenoeg ongewijzigd worden overgedragen op krommen in de driedimensionale ruimte, of zelfs in de algemene $n$-dimensionale Euclidische ruimte:

$f:[0,t_{0}]\to \mathbb {R} ^{n}:t\mapsto f(t)$

De lengte van de kromme is opnieuw de integraal van de snelheidsvector:

$L=\int _{0}^{t_{0}}\|f'(t)\|\mathrm {d} t$

Andere normen

Deze definitie blijft ook gelden voor algemenere normen $\|.\|$, en in plaats van $\mathbb {R} ^{n}$ kunnen we zelfs een algemene genormeerde ruimte $X$ nemen (eventueel, maar niet noodzakelijk, een reële of complexe Banachruimte) - op voorwaarde dat een duidelijke notie van differentieerbaarheid gehanteerd wordt.

Booglengte in gekromde ruimten

Een andere veralgemening bestaat erin, de Euclidische ruimte te vervangen door een gekromde $n$-dimensionale gladde variëteit. De afgeleide $f'(t)$ is dan een vector in de raakruimte, en zijn lengte wordt bepaald door de metrische tensor $g:$

$\|f'(t)\|={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}{\partial f^{i} \over \partial t}{\partial f^{j} \over \partial t}}}$

of een variant hierop waarbij binnen het wortelteken een absolute waarde staat, of, afhankelijk van het geval, een minteken.

Parametrisering door booglengte

Als een kromme gedefinieerd wordt door een differentieerbare functie $f$ van een reële parameter $t,$ dan noemen we deze parametrisering regulier als de afgeleide van $f$ nergens nul wordt op het beschouwde interval.

Bij een reguliere kromme is de functie

$s:[0,t_{0}]\to \mathbb {R} :t\mapsto \int _{0}^{t}\|f'(r)\|\mathrm {d} r$

differentieerbaar, strikt stijgend en haar afgeleide $s'(r)=\|f'(r)\|$ is overal strikt positief. Haar inverse functie

$s^{-1}:[0,s(t_{0})]\to \mathbb {R}$

is eveneens strikt stijgend en differentieerbaar met positieve afgeleide. Dat betekent dat we de oorspronkelijke kromme $f$ kunnen herparametriseren in termen van de booglengte $s.$ De nieuwe kromme

$g:[0,s(t_{0})]\to X:r\mapsto f(s^{-1}(r))$

heeft dezelfde beeldverzameling in $X$ als de oorspronkelijke kromme $f,$ maar ze heeft ook de bijkomende eigenschap dat haar snelheidsvector overal de lengte een heeft:

$\|g'(r)\|=\|f'(s^{-1}(r)).(\mathrm {d} s^{-1}/\mathrm {d} r)\|=\left\|{f'(s^{-1}(r)) \over (\mathrm {d} s/\mathrm {d} t)(s^{-1}(r))}\right\|={\|f'(s^{-1}(r))\| \over \|f'(s^{-1}(r))\|}=1$

Zie ook

Boog (meetkunde) voor de berekening van de booglengte van een cirkel.

Alignement

boog · booglengte · boogstraal · clothoïde · overgangsboog · straal