Booglengte
Booglengte is in de meetkunde de lengte van een (gedeelte van een) kromme.
Formule bewerken
Voor een kromme in het platte vlak, gegeven door de coördinaatsfuncties en wordt de booglengte bepaald door een infinitesimaal klein stukje van de kromme te integreren. Voor een klein stukje geldt bij goede benadering volgens de stelling van Pythagoras:
- .
In de limiet is:
- ,
zodat:
- ,
mits natuurlijk de afgeleiden bestaan.
In het geval van een expliciete functie wordt dit:
- ,
en in poolcoördinaten:
- ,
De booglengte van de kromme tot aan het punt wordt dan:
Betreft de kromme de grafiek van een (differentieerbare) functie dan kan deze formule herschreven worden door de variabele als parameter te kiezen. De booglengte van tot wordt dan:
- .
Zelfs in de meeste eenvoudige gevallen bestaat er vaak geen gesloten vorm van deze integraal en moet er numeriek geïntegreerd worden.
Veralgemeningen bewerken
Hogere dimensies bewerken
Bovenstaande definitie kan nagenoeg ongewijzigd worden overgedragen op krommen in de driedimensionale ruimte, of zelfs in de algemene -dimensionale Euclidische ruimte:
De lengte van de kromme is opnieuw de integraal van de snelheidsvector:
Andere normen bewerken
Deze definitie blijft ook gelden voor algemenere normen , en in plaats van kunnen we zelfs een algemene genormeerde ruimte nemen (eventueel, maar niet noodzakelijk, een reële of complexe Banachruimte) - op voorwaarde dat een duidelijke notie van differentieerbaarheid gehanteerd wordt.
Booglengte in gekromde ruimten bewerken
Een andere veralgemening bestaat erin, de Euclidische ruimte te vervangen door een gekromde -dimensionale gladde variëteit. De afgeleide is dan een vector in de raakruimte, en zijn lengte wordt bepaald door de metrische tensor
of een variant hierop waarbij binnen het wortelteken een absolute waarde staat, of, afhankelijk van het geval, een minteken.
Parametrisering door booglengte bewerken
Als een kromme gedefinieerd wordt door een differentieerbare functie van een reële parameter dan noemen we deze parametrisering regulier als de afgeleide van nergens nul wordt op het beschouwde interval.
Bij een reguliere kromme is de functie
differentieerbaar, strikt stijgend en haar afgeleide is overal strikt positief. Haar inverse functie
is eveneens strikt stijgend en differentieerbaar met positieve afgeleide. Dat betekent dat we de oorspronkelijke kromme kunnen herparametriseren in termen van de booglengte De nieuwe kromme
heeft dezelfde beeldverzameling in als de oorspronkelijke kromme maar ze heeft ook de bijkomende eigenschap dat haar snelheidsvector overal de lengte een heeft:
Zie ook bewerken
Boog (meetkunde) voor de berekening van de booglengte van een cirkel.