Conservatief vectorveld

Een conservatief vectorveld, ook exact vectorveld is een vectorveld dat de gradiënt (de "helling") is van een scalair veld (een functie op een meerdimensionale ruimte), in deze context de (scalaire) potentiaal genoemd. Een conservatief vectorveld heeft de eigenschap dat de lijnintegraal van een punt naar een punt onafhankelijk is van het gekozen pad van naar .

ToepassingenBewerken

Conservatieve vectorvelden spelen een belangrijke rol in de natuurkunde, onder andere in de vorm van de krachten die werken in een gesloten systeem, d.i. als de energie behouden blijft. Dit maakt het mogelijk potentiële energie te definiëren onafhankelijk van het gekozen pad.

DefinitieBewerken

Een vectorveld   heet conservatief, als er een functie

 

is, zodanig dat:

 .

Afhankelijk van de toepassing en de conventie wordt ook wel de relatie   gekozen.

De functie   wordt een potentiaal van het veld genoemd. Deze is op een constante term na bepaald.

De operator   (nabla) is de gradiënt.

StellingenBewerken

  • Een conservatief vectorveld   is rotatievrij m.a.w.  
  • Als er een gebied is waar een vectorveld rotatievrij en continu differentieerbaar is, dan is dat vectorveld conservatief in dat gebied.
  • De lijnintegraal van een conservatief vectorveld is onafhankelijk van de gevolgde weg. Voor elke kromme   van het punt   naar het punt   geldt:
 .

Rekenvoorbeeld: van conservatief vectorveld naar potentiaalfunctieBewerken

Gegeven het vectorveld

 

Dit veld is inderdaad conservatief want

  en   en  

Er bestaat dus een potentiaalfunctie   waarvan   de gradiënt is. Die kan berekend worden aan de hand van de componenten van   want dat zijn de respectievelijke partiële afgeleiden van  . Bijvoorbeeld, vertrekkend vanuit de eerste component:

 

Bij het integreren van   naar moet rekening gehouden worden met termen in   die geen   bevatten en waarvan dus geen spoor terug te vinden is in de component  . De functie   kan gevonden worden door te eisen dat de partiele afgeleide van   naar y gelijk is aan  . Dit leidt hier tot:

 

zodat

 

waar   een term van   is die ook niet afhangt van   en waarvan dus geen spoor in   terug te vinden is. Dus:

 

De functie   kan gevonden worden door de partiële afgeleiden van deze   naar   af te leiden en gelijk te stellen aan  :

 

zodat

 

waar   een willekeurige reële constante is. Dus, tenslotte:

 

Deze rekenmethode kan veralgemeend worden indien de dimensie van de vectorruimte groter is, of vereenvoudigd indien de dimensie 2 is.