Conservatief vectorveld

Een conservatief vectorveld, ook exact vectorveld is een vectorveld dat de gradiënt (de "helling") is van een scalair veld (een functie op een meerdimensionale ruimte), in deze context de (scalaire) potentiaal genoemd. Een conservatief vectorveld heeft de eigenschap dat de lijnintegraal van een punt $A$ naar een punt $B$ onafhankelijk is van het gekozen pad van $A$ naar $B$.

Toepassingen

Conservatieve vectorvelden spelen een belangrijke rol in de natuurkunde, onder andere in de vorm van de krachten die werken in een gesloten systeem, d.i. als de energie behouden blijft. Dit maakt het mogelijk potentiële energie te definiëren onafhankelijk van het gekozen pad.

Definitie

Een vectorveld ${\vec {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ heet conservatief, als er een functie

$\varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

is, zodanig dat:

${\vec {F}}=\nabla \varphi$.

Afhankelijk van de toepassing en de conventie wordt ook wel de relatie ${\vec {F}}=-\nabla \varphi$ gekozen.

De functie $\varphi$ wordt een potentiaal van het veld genoemd. Deze is op een constante term na bepaald.

De operator $\nabla$ (nabla) is de gradiënt.

Stellingen

• Een conservatief vectorveld ${\vec {F}}$ is rotatievrij m.a.w. $\nabla \times {\vec {F}}={\vec {0}}$
• Als er een gebied is waar een vectorveld rotatievrij en continu differentieerbaar is, dan is dat vectorveld conservatief in dat gebied.
• De lijnintegraal van een conservatief vectorveld is onafhankelijk van de gevolgde weg. Voor elke kromme ${\mathcal {C}}$ van het punt $A$ naar het punt $B$ geldt:

$\int _{\mathcal {C}}{\vec {F}}\cdot {\vec {\mathrm {d} P}}=\varphi (B)-\varphi (A)$.

• Uit de voorgaande stelling volgt dat een kringintegraal in een enkelvoudig samenhangend gebied van een conservatief vectorveld dat in het beschouwde gebied conservatief is, gelijk is aan 0.

Rekenvoorbeeld: van conservatief vectorveld naar potentiaalfunctie

Gegeven het vectorveld

${\overrightarrow {F}}\ =\ [2x+z,z,y-3z^{2}+x]$

Dit veld is inderdaad conservatief want

${\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}=0={\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}$ en ${\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}=1={\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}$ en ${\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}=1={\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}$

Er bestaat dus een potentiaalfunctie $P(x,y,z)$ waarvan ${\overrightarrow {F}}$ de gradiënt is. Die kan berekend worden aan de hand van de componenten van ${\overrightarrow {F}}$ want dat zijn de respectievelijke partiële afgeleiden van $P(x,y,z)$. Bijvoorbeeld, vertrekkend vanuit de eerste component:

$P\ =\ \int F_{x}dx\ =\ x^{2}+xz+\phi (y,z)$

Bij het integreren van $F_{x}$ naar moet rekening gehouden worden met termen in $P$ die geen $x$ bevatten en waarvan dus geen spoor terug te vinden is in de component $F_{x}$. De functie $\phi (y,z)$ kan gevonden worden door te eisen dat de partiele afgeleide van $P$ naar y gelijk is aan $F_{y}$. Dit leidt hier tot:

${\frac {\partial \phi }{\partial y}}\ =\ z$

zodat

$\phi (y,z)\ =\ yz+\psi (z)$

waar $\psi (z)$ een term van $P$ is die ook niet afhangt van $y$ en waarvan dus geen spoor in $F_{y}$ terug te vinden is. Dus:

$P\ =\ x^{2}+xz+yz+\psi (z)$

De functie $\psi (z)$ kan gevonden worden door de partiële afgeleiden van deze $P$ naar $z$ af te leiden en gelijk te stellen aan $F_{z}$:

$x+y+{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\ =\ x+y-3z^{2}$

zodat

$\psi (z)=-z^{3}\ +\ K$

waar $K$ een willekeurige reële constante is. Dus, ten slotte:

$P(x,y,z)\ =\ x^{2}+xz+yz-z^{3}+K$

Deze rekenmethode kan veralgemeend worden indien de dimensie van de vectorruimte groter is, of vereenvoudigd indien de dimensie 2 is.