Hoofdmenu openen
De integraal als oppervlakte onder een functielijn.

Binnen de wiskunde, speciaal in de analyse, is Riemannintegratie een methode die werd ontwikkeld door de Duitse wiskundige Bernhard Riemann, om op een interval de oppervlakte onder de grafiek van een functie te berekenen. Die oppervlakte is de (Riemann)integraal van de beschouwde functie over dat interval.

De Riemannintegraal is voor veel theoretische doeleinden ongeschikt, en voor een groot aantal functies en praktische toepassingen kan de integraal eenvoudig bepaald worden met behulp van de hoofdstelling van de integraalrekening of door numerieke integratie.

Sommige van de technische onvolkomenheden van Riemannintegratie worden weggenomen door de Riemann-Stieltjes-integraal, en bijna alle door de Lebesgue-integraal.

Inhoud

PrincipeBewerken

 
Een Riemannsom

Stel dat we voor een functie   die we voor het gemak niet-negatief nemen, de oppervlakte onder de grafiek willen uitrekenen boven een interval   in het domein. Riemann bedacht de volgende methode om deze oppervlakte te benaderen:

  • verdeel het interval   in een eindig aantal, zeg   deelintervallen;
  • noem de lengte van het  -de deelinterval  ,
  • kies een punt   in het  -de deelinterval,

dan wordt de gevraagde oppervlakte benaderd door de som van de gemakkelijk te berekenen oppervlakten van de rechthoeken boven de deelintervallen met hoogten  . Deze som, die Riemannsom genoemd wordt, is:

 
 
Een sequentie van Riemannsommen. Het getal in de rechterbovenhoek van de afbeelding, is de som van de oppervlaktes van alle grijze rechthoeken. Deze som convergeert naar de (Riemann)integraal van de functie.

Door de verdeling in deelintervallen te verfijnen, dat wil zeggen door elk deelinterval weer verder te verdelen in een eindig aantal deelintervallen, zal een betere benadering verkregen worden. Bij steeds verdere verfijning, waarbij de lengte van het grootste deelinterval naar 0 gaat, zullen voor sommige functies de bijbehorende Riemannsommen convergeren. Dergelijke functies heten Riemannintegreerbaar en de limiet van de Riemannsommen is de gevraagde integraal, genoteerd als:

 

of als

 

DefinitieBewerken

Voor de definitie van de Riemannintegraal zijn enkele begrippen nodig.

Een verdeling van het interval   is een eindige rij getallen van de vorm:

 

Elk interval   heet een deelinterval van de verdeling. De maas van de verdeling is de lengte van het grootste deelinterval.

Een gelabelde verdeling van   is een verdeling, waarbij in elk deelinterval   een punt   is gegeven,

Een gelabelde verdeling   heet een verfijning van de verdeling   als alle deelpunten   van   ook deelpunten van   zijn en alle labels   van   ook labels van   zijn.

De Riemannsom van een reële functie   gedefinieerd op het interval   met betrekking tot de gelabelde verdeling   van   met deelpunten   en labels   is:

 

RiemannintegraalBewerken

Een begrensde, reële functie   gedefinieerd op het interval  , heet Riemannintegreerbaar met integraal   als er voor elke   een   is, zo, dat voor elke gelabelde verdeling   van   met maas kleiner dan   geldt:

 

Deze oorspronkelijke definitie heeft als nadeel dat er erg moeilijk mee te werken is. Er is echter een equivalente, alternatieve definitie die gemakkelijker te hanteren is. In deze alternatieve definitie is   Riemannintegreerbaar met integraal   als voor elke   er een gelabelde verdeling   bestaat, zo dat voor elke verfijning   geldt:

 

Beide definities houden in dat met toenemende verfijning of afnemende maas de Riemannsommen convergeren naar de integraal  

DarbouxintegraalBewerken

Een gelijkwaardige definitie, maar technisch eenvoudiger dan de Riemannintegraal, is de Darbouxintegraal, genoemd naar de Franse wiskundige Gaston Darboux, aan wie deze aanpak meestal wordt toegeschreven. In plaats van Riemannsommen gedefinieerd aan de hand van willekeurige punten uit de deelintervallen, wordt het oppervlak boven een deelinterval ingesloten tussen rechthoeken met hoogten gelijk aan het maximum en het minimum van de functie op een deelinterval.

De Darbouxintegraal is equivalent aan de Riemannintegraal, dat wil zeggen dat een functie die Darbouxintegreerbaar is, ook Riemannintegreerbaar is, en omgekeerd, en dat de Darbouxintegraal gelijk is aan de Riemannintegraal.

HoofdstellingBewerken

Als   de afgeleide is van de functie   kan volgens de hoofdstelling van de integraalrekening, de integraal van   over het interval   geschreven worden als:

 

Merk op dat het zo dus ook mogelijk is een waardeverandering van de primitieve functie   te benaderen op het interval   zelfs als   zelf niet expliciet bepaald kan worden uit  

TriviaBewerken

Het symbool   waarmee een integraal wordt aangeduid, is geïntroduceerd door de Duitse wiskundige Gottfried Wilhelm von Leibniz tegen het eind van 17de eeuw. Het is gebaseerd op de lange s (ſ) en werd gekozen omdat de integraal een limiet is van sommen.