Continue functie (topologie)

topologie

In de topologie en aanverwante gebieden binnen de wiskunde is een continue functie een morfisme tussen topologische ruimten. Intuïtief is het een functie waar een verzameling van punten dicht bij altijd het beeld van een verzameling van punten dicht bij bevat. Voor een algemene topologische ruimte betekent dit dat een omgeving van altijd het beeld van een omgeving van bevat.

Dat houdt in dat in een metrische ruimte, zoals de reële getallen, de punten binnen een gegeven afstand van altijd de beelden van alle punten binnen een zekere afstand van bevatten; dit wordt geformuleerd in de ε-δ definitie.

DefinitiesBewerken

Er bestaan verschillende equivalente definities van een topologische ruimte, en dus zijn er ook verschillende equivalente manieren om een continue functie te definiëren.

Definities met open en gesloten verzamelingenBewerken

De meest gangbare notie van continuïteit in de topologie definieert continue functies als die functies waarvan de originelen van open verzamelingen ook open zijn. Vergelijkbaar met de formulering in termen van open verzamelingen is die voor met gesloten verzamelingen, die stelt dat de originelen van gesloten verzamelingen ook gesloten zijn.

Definities gebaseerd op originelen zijn vaak moeilijk direct te gebruiken. Er is ook een definitie met behulp van omgevingen.

Definitie met omgevingenBewerken

Een functie   van de topologische ruimte   naar de topologische ruimte   heet continu in  , voor enige  , als voor elke omgeving   van   er een omgeving   van   bestaat zodanig dat  . Als   continu is op elke  , dan zeggen we simpelweg dat   continu is.

Hoewel deze definitie ingewikkeld lijkt, wordt hier intuïtief beweerd dat hoe "klein"   ook mag worden, wij altijd een  , met daarin  , kunnen vinden die daarbinnen wordt afgebeeld.

 

In een metrische ruimte zijn de open ballen, rond   en   de omgevingen. Dit leidt tot de standaard ε-δ-definitie van een continue functie uit de reële analyse, die ruwweg zegt dat een functie continu is, indien alle punten dicht bij   op punten dicht bij   afgebeeld worden. Deze omschrijving heeft alleen betekenis in een metrische ruimte, waar een begrip afstand is gedefinieerd.

Is de beeldruimte een Hausdorff-ruimte, dan is   continu in   is dan en slechts dan als de limiet van  , wanneer   tot   nadert, gelijk is  . Op een geïsoleerd punt is iedere functie continu.