Aftelbaarheidsaxioma

Aan een topologische ruimte worden soms aanvullende voorwaarden opgelegd om sterkere eigenschappen te kunnen bewijzen. De aftelbaarheidsaxioma's zijn dergelijke voorwaarden, die alle te maken hebben met het bestaan van bases die in zekere zin uit "weinig" open verzamelingen bestaan.

Eerste aftelbaarheidsaxioma: A1Bewerken

Een topologische ruimte   heet eerst-aftelbaar of   als ieder punt een aftelbare lokale basis heeft. Dat houdt in dat er voor elke   aftelbaar veel open verzamelingen   zijn, waarvoor geldt:

  • voor alle   is  
  • elke open omgeving   van   bevat een van de   als deelverzameling.

Tweede aftelbaarheidsaxioma: A2Bewerken

Een topologische ruimte   heet tweedst-aftelbaar (soms: tweede-aftelbaar) of   als ze een aftelbare basis heeft:

 

Dit is duidelijk sterker dan  : elke tweedst-aftelbare ruimte is eerst-aftelbaar.

VoorbeeldenBewerken

Elke (topologie afkomstig van een) metrische ruimte   is  . Neem bijvoorbeeld als lokale basis in   de open bollen met middelpunt   en straal  , voor  

 

Niet iedere metrische ruimte is  , maar een compacte metrische ruimte is in elk geval wel  : wegens compactheid kan de ruimte voor elke   overdekt worden met een eindig aantal open bollen met straal  ; de vereniging van deze open bollen voor alle   vormt een aftelbare basis.

De reële getallen, en algemener  , zijn eveneens  . Neem bijvoorbeeld als aftelbare basis de open intervallen (in  : cartesische producten van open intervallen) waarvan de eindpunten rationale getallen zijn.

MetriseerbaarheidBewerken

Het eerste voorbeeld hierboven is niet toevallig gekozen. Onder de topologische ruimten worden degenen die van metrische ruimten afkomstig zijn, gekenmerkt door bijzondere scheidingsaxiomas en aftelbaarheidsaxiomas.

Metriseerbaarheidsstelling van UrysohnBewerken

De metriseerbaarheidsstelling van Urysohn garandeert dat bij een topologische ruimte die tweedst-aftebaar ( ) en normaal is, de topologie afkomstig is van een metriek.

Sigma-lokaal-eindige-basisBewerken

Het bestaan een sigma-lokaal-eindige basis is een scheidingsaxioma ( ) dat tussen   en   in ligt.

  • Een topologische ruimte die aan   voldoet, is ook  .
  • Een topologische ruimte die aan   voldoet, is ook  .

Kort gezegd:

 

De hoofdstelling over de metriseerbaarheid van topologische ruimten is genoemd naar Smirnov, Nagata en Bing. Ze karakteriseert volledig de metriseerbare topologische ruimten:

Een topologische ruimte is metriseerbaar dan en slechts dan als ze normaal is en beschikt over een sigma-lokaal-eindige basis.

Metriseerbaarheid in de functionaalanalyseBewerken

Voor een topologische vectorruimte is   reeds voldoende om metriseerbaarheid te garanderen.

Limieten van rijenBewerken

De topologie van een  -ruimte wordt volledig gekenmerkt door de convergentie van oneindige rijen: de afsluiting van een gegeven deelverzameling bestaat namelijk uit alle limieten van rijen in die deelverzameling.

Voor willekeurige topologische ruimten is dit niet gegarandeerd; er bestaat evenwel een veralgemeend rijbegrip (Moore-Smithrijen, zie netten) dat de afsluiting kenmerkt als de verzameling limieten.