Overdekking (topologie)

topologie

In de wiskunde is een overdekking van een verzameling een geindiceerde verzameling van verzamelingen zodat een deelverzameling van de vereniging van de verzamelingen is. In symbolen: als een geindiceerde verzameling van verzamelingen is, dan is een overdekking van als

, waarin alle en de indexverzameling is voor de geindiceerde verzameling verzamelingen in .

Noteer . De geindiceerde verzameling is met geïndexeerd.

Wanneer de eis wordt gesteld dat de een deelverzameling van zijn, kan er in de vereniging geen element buiten liggen.

Overdekking in de topologie

bewerken

Overdekkingen worden veelal gebruikt in de context van de topologie. Als de verzameling   een topologische ruimte is, dan is een overdekking   van   een geindiceerde verzameling van verzamelingen  , waarvan de vereniging tenminste de hele ruimte   is. In dat geval zeggen we:   overdekt   of ook de gezamenlijke   overdekken  . Als   een deelverzameling van   is, dan is een overdekking van   een geindiceerde deelverzameling   van  , waarvan de vereniging   bevat, dat wil dus zeggen dat   een overdekking is van   als

 , waarin alle   en   de indexverzameling is voor de geindiceerde verzameling in   van verzamelingen  .

  heet een deeloverdekking van   en  .

Laat   een overdekking van een topologische ruimte   zijn. Een deeloverdekking van   is dan een deelverzameling van   die   nog steeds overdekt.

We zeggen dat   een open overdekking is als alle elementen   een open verzameling zijn, dat wel zeggen dat iedere   in de topologie   op   ligt.

Van een overdekking op   wordt gezegd dat deze lokaal eindig is, als ieder punt van   een omgeving heeft, die alleen een eindig aantal verzamelingen in de overdekking doorsnijdt. In symbolen,   is lokaal eindig als voor iedere   er een omgeving   op   bestaat, zodat de verzameling

 

eindig is.

Van een overdekking op   wordt gezegd dat deze punt-eindig is als alle punten van   in een eindig aantal verzamelingen in de overdekking liggen.

Een exacte overdekking van een verzameling   is een overdekking   van   zodat ieder element van   element is van precies een van de verzamelingen  .

Verfijning

bewerken

Een verfijning van een overdekking   van   is een nieuwe overdekking   zodanig dat er voor iedere   een   is, zodat  .

Iedere deeloverdekking is ook een verfijning, maar niet iedere verfijning is een deeloverdekking.

Een deel-overdekking wordt opgebouwd uit verzamelingen die deel uitmaken van de overdekking, maar het zijn er minder, terwijl een verfijning wordt opgebouwd uit enige verzamelingen die deelverzamelingen van de verzamelingen in de overdekking zijn.

De verfijningsrelatie is een quasi-orde op de verzameling van dekkingen op  .

Compactheid

bewerken

De taal van de overdekkingen wordt vaak gebruikt om verschillende topologische eigenschappen te relateren aan het begrip compactheid. Van een topologische ruimte   wordt gezegd dat deze

  • compact is, als elke open overdekking een eindige deel-overdekking heeft. Dit komt overeen met de eis dat elke open overdekking een eindige verfijning heeft.
  • Lindelöf is, als elke open overdekking een telbare deel-overdekking heeft. Dit komt overeen met de eis dat elke open overdekking een aftelbare verfijning heeft.
  • metacompact is, als elke open overdekking een punt-eindige open verfijning heeft.
  • paracompact is, als iedere open overdekking een lokaal eindige, open verfijning toestaat.

Literatuur

bewerken