Overdekking (topologie)

topologie

In de wiskunde is een overdekking van een verzameling een collectie van verzamelingen zodat een deelverzameling van de vereniging van verzamelingen in de collectie is. In symbolen: als

een geïndexeerde familie van verzamelingen is, dan is een overdekking van als

Overdekking in de topologieBewerken

Overdekkingen worden veelal gebruikt in de context van de topologie. Als de verzameling   een topologische ruimte is, dan is een overdekking   van   een collectie van deelverzamelingen   van   waarvan de vereniging de gehele ruimte   is. In dat geval zeggen we:   overdekt   of ook de verzamelingen   overdekken  . Als   een deelverzameling van   is, dan is een overdekking van   een collectie van deelverzamelingen van  , waarvan de vereniging   bevat, dat wil dus zeggen dat   een overdekking is van   als

 

Laat   een overdekking van een topologische ruimte   zijn. Een deeloverdekking van   is dan een deelverzameling van   die   nog steeds overdekt.

We zeggen dat   een open overdekking is als elk van de lidmaten een open verzameling is (dat wel zeggen dat elke   is vervat in de topologie   op  

Van een overdekking op   wordt gezegd dat deze lokaal eindig is, als elk punt van   een omgeving heeft, die slechts een eindig aantal verzamelingen in de overdekking doorsnijdt. In symbolen,   is lokaal eindig als voor enige   er enige omgeving   op   bestaat, zodat de verzameling

 

eindig is.

Van een overdekking op   wordt gezegd dat deze punt-eindig is als elk punt van   slechts in een eindig aantal verzamelingen in de overdekking is vervat.

VerfijningBewerken

Een verfijning van een overdekking   van   is een nieuwe overdekking   op   zodat elke verzameling in   is vervat in enige verzameling in  . In symbolen:

 

is een verfijning van

 

als er voor elke   een   is, zodanig dat:

 .

Elke deeloverdekking is ook een verfijning, maar niet elke verfijning is een deeloverdekking.

Een deel-overdekking wordt opgebouwd uit verzamelingen die deel uitmaken van de overdekking, maar het zijn er minder; terwijl een verfijning wordt opgebouwd uit enige verzamelingen die deelverzamelingen van de verzamelingen in de overdekking zijn.

De verfijningsrelatie is een quasi-order op de verzameling van dekkingen op  .

CompactheidBewerken

De taal van de overdekkingen wordt vaak gebruikt om verschillende topologische eigenschappen te relateren aan het begrip compactheid. Van een topologische ruimte   wordt gezegd dat deze

  • compact is, als elke open overdekking een eindige deel-overdekking heeft. Dit is equivalent aan de eis dat elke open overdekking een eindige verfijning heeft.
  • Lindelöf is, als elke open overdekking een telbare deel-overdekking heeft. Dit is equivalent aan de eis dat elke open overdekking een aftelbare verfijning heeft.
  • metacompact is, als elke open overdekking een punt-eindige open verfijning heeft.
  • paracompact is, als elke open overdekking een lokaal eindige, open verfijning toestaat.

Zie ookBewerken

ReferentiesBewerken

  • (en) Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene Introduction to Topology (Introductie tot de topologie), Second Edition, Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6
  • (en) John L. Kelley, General Topology (Algemene topologie), D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.