Sinus en cosinus

(Doorverwezen vanaf Cosinus)

De sinus en de cosinus zijn onderling sterk samenhangende goniometrische functies. Het waren oorspronkelijk functies van de hoeken in een rechthoekige driehoek. De sinus is daarin de verhouding van de tegenover de hoek liggende zijde en de schuine zijde, en de cosinus is de sinus van de complementaire hoek en dankt daaraan zijn naam. De cosinus is dus de verhouding van de aanliggende zijde en de schuine zijde. Beide functies spelen een belangrijke rol bij de bestudering van driehoeken, veelhoeken en cirkels, en vanwege het periodieke karakter ook bij de bestudering van periodieke verschijnselen. Sinus en cosinus zijn functies met als grafiek de bekende golflijn.

De sinusfunctie SVG.svg

DefinitiesBewerken

In een rechthoekige driehoekBewerken

 
Rechthoekige driehoek ABC

Oorspronkelijk was in een rechthoekige driehoek   met rechte hoek in het hoekpunt   en zijden  , de sinus van de hoek   in het hoekpunt   gedefinieerd als:

 

De cosinus was gedefinieerd als:

 

De cosinus is de sinus van het complement   van  :

 

Omdat rechthoekige driehoeken met een van de scherpe hoeken gelijk aan   alle gelijkvormig zijn, hangen de sinus en de cosinus niet af van de keuze van de driehoek.

Verder volgt uit de stelling van Pythagoras:

 

Voor hoeken tot 360°Bewerken

In bovenstaande definitie zijn sinus en cosinus alleen gedefinieerd voor scherpe hoeken, hoeken tussen 0 en 90°. Daarom is de definitie aanvankelijk uitgebreid tot hoeken tussen 0 en 360° met behulp van de goniometrische cirkel, de cirkel met straal 1 om de oorsprong. De voerstraal naar een punt   op deze cirkel maakt een hoek   met de positieve  -as, en de cosinus en de sinus worden gedefinieerd als de coördinaten van  :

 
 

Voor willekeurige hoekenBewerken

De definitie kan nog verder uitgebreid worden tot willekeurige hoeken door deze te reduceren tot een hoek van 0 tot 360°. Een willekeurige hoek   is als hoek eigenlijk niet te onderscheiden van de hoek

 

De definitie wordt daarom verder uitgebreid door voor alle hoeken   die een geheel veelvoud   van elkaar verschillen, te stellen:

 
 

In radialenBewerken

 
Grafieken van de functies   (rood) en   (blauw)

In radialen zijn op deze manier sinus en cosinus gedefinieerd voor elk reëel getal  . Het zijn beide periodieke functies met periode  . Voor alle gehele getallen   geldt:

 
 

Als machtreeksBewerken

Met uitsluitend meetkundige argumenten en eigenschappen van de limiet kan aangetoond worden dat de sinus en de cosinus differentieerbaar zijn en dat:

 
 

Uit de figuur blijkt bijvoorbeeld:

 
 
 
 

Dus

 

Uit de relaties voor de afgeleiden volgt voor   en  

 

Met dit resultaat kunnen voor de sinus en de cosinus taylorreeksen worden opgesteld. De volgende reeksontwikkelingen gelden voor de sinus en de cosinus:

 
 

Deze machtreeksen worden ook in de analyse gebruikt als definitie van de beide functies.

DifferentiaalvergelijkingBewerken

Het is ook mogelijk de sinus en de cosinus te definiëren met behulp van een stel differentiaalvergelijkingen. Zij zijn de enige oplossingen van het stelsel:

 
 

met de randvoorwaarden

 
 

Uitbreiding naar complexe getallenBewerken

De definitie als machtreeks maakt het mogelijk de sinus en de cosinus ook te definiëren voor complexe getallen  .

 
 

GeschiedenisBewerken

Sinus en cosinus werden bestudeerd door Hipparchus van Nicaea (180–125 v.Chr.), Claudius Ptolemaeus van Egypte (90–165 na Chr.), Aryabhata (476–550), Varahamihira, Brahmagupta, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, Abū al-Wafā' al-Būzjānī, Omar Khayyam, Bhāskara II, Nasir al-Din al-Tusi, Ghiyath al-Kashi (14e eeuw), Ulugh Beg (14e eeuw), Regiomontanus (1464), Rheticus, en Rheticus' leerling Valentin Otho.

De Arabieren introduceerden het begrip sinus als gib, wat letterlijk koorde betekent. In de 12e eeuw werden de Arabische werken vertaald naar het Latijn. Hierbij werd gib verward met gaib, dat bocht of boezem betekent. Het Latijnse woord hiervoor is sinus. Ondanks de foute vertaling raakte het begrip ingeburgerd.

In de oorspronkelijke definitie zijn sinus en cosinus verhoudingen van bepaalde zijden in een rechthoekige driehoek. De grootte van de driehoek speelt daarbij geen rol; voor een bepaalde hoek zijn de verhoudingen onafhankelijk van de grootte van de driehoek. Dit valt onmiddellijk aan te tonen met gelijkvormigheid.

Als eerste kennismaking wordt deze definitie nog vaak onderwezen bij wijze van opstap naar de vernieuwde, meer algemene benadering. Men heeft hiervoor gekozen omdat het abstractieniveau beduidend lager is en de toepassingsmogelijkheden veel duidelijker zijn. Hoewel de regels niet moeilijk zijn, worden ze nog wel eens door elkaar gehaald. Het ezelsbruggetje SOS Castoa kan helpen de regels te onthouden.

EigenschappenBewerken

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Relatie met complexe exponentBewerken

 

en

 

Deze formules definiëren de functies ook voor complexe  .

Deze twee relaties kunnen worden afgeleid uit de formule van Euler:

 

SomformulesBewerken

 
 

Voor meer formules: zie de lijst van goniometrische gelijkheden.

ToepassingenBewerken

De sinus en de verwante goniometrische functies zoals de cosinus, worden bijzonder vaak toegepast, vooral in de studie van golven. Een van de eigenschappen van de sinus is dat de tweede afgeleide ook een sinus is (met een min-teken). Voor de cosinus geldt een analoge eigenschap. Dit maakt de sinus en de cosinus een oplossing van de golfvergelijking, die een differentiaalvergelijking van de tweede graad is.

Een andere toepassing van de sinusfunctie en andere goniometrische functies is het converteren van een coördinaat in het polaire coördinatenstelsel naar het cartesische coördinatenstelsel. De x- en y-coördinaat in een assenstelsel worden berekend via:

 

en

 

Daarin is   de poolhoek en   de poolstraal.

Enkele voorbeeldenBewerken

Het is praktisch enkele waarden van de sinus, de cosinus en de tangens te kennen:

graden 30° 45° 60° 90°
radialen          
sinus          
cosinus          
tangens         geen

Of, makkelijker te onthouden:

graden 30° 45° 60° 90°
radialen          
sinus          
cosinus          
tangens         geen

Zie ookBewerken

Externe linkBewerken