Hoofdmenu openen

Reeks (wiskunde)

wiskunde
(Doorverwezen vanaf Partiële som)

Het wiskundige begrip reeks is een uitbreiding van de optelling van rationale getallen, reële getallen, complexe getallen, functies, etc., tot het geval van een oneindige rij termen. Een reeks wordt genoteerd als een uitdrukking van de vorm[1]

Voor een gegeven ruimte waarin de optelling is gedefinieerd, zoals de reële getallen, is er aldus een eenduidig verband tussen de rijen termen uit die ruimte, en de reeksen.

De eventuele uitkomst van de sommatie wordt, uitgedrukt in de termen van de reeks, hetzelfde genoteerd als de reeks, dus .

Soms wordt bij een eindig aantal termen ook wel de term reeks gebruikt, bijvoorbeeld rekenkundige reeks bij de sommatie van een eindig aantal opeenvolgende elementen van een rekenkundige rij.

Inhoud

TerminologieBewerken

De term 'reeks' in de bovengenoemde betekenis is specifiek voor de analyse en toepassingen daarvan. In het dagelijkse spraakgebruik en in andere disciplines is 'reeks' synoniem met 'rij', evenals in oudere wiskundeliteratuur.[2][3][4]

DefinitieBewerken

Voor iedere rij   in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde reeks gedefinieerd als de formele som

 .[5]

De elementen van de rij zijn de termen van de reeks.

Partiële somBewerken

De som   van de eerste   termen van de rij   wordt partiële som of ook wel partieelsom genoemd:

 

Als de rij van partiële sommen convergeert, schrijft men voor de limiet:

 

Alternatieve definitie van 'Reeks'Bewerken

Een 'reeks' wordt ook wel formeel gedefinieerd als een bepaalde combinatie van een rij   en de rij   van zijn partiële sommen, bijvoorbeeld  .

ConvergentieBewerken

Voor reeksen met termen in een gegeven metrische ruimte (met optelling), is het zinvol het bestaan van de som te onderzoeken.

Een reeks heet convergent als de rij der partiële sommen convergeert naar een eindige limiet  . In dat geval noemt men   de som van de reeks:

 

Als de rij der partiële sommen convergeert, moet de rij der afzonderlijke termen   convergeren naar 0. Het omgekeerde geldt echter niet: een reeks waarvan de termen convergeren naar 0, kan nog steeds divergent (niet convergent ) zijn; zie bijvoorbeeld de harmonische reeks hieronder.

Absolute convergentieBewerken

We beperken ons nu tot reeksen waarvan de termen reële getallen zijn.

Een reeks heet absoluut convergent als de absolute waarden van de termen   op hun beurt de bouwstenen zijn van een convergente reeks.

In formulevorm: de reeks   heet absoluut convergent als de reeks   een convergente reeks is.

Elke absoluut convergente reeks is convergent. Bij een absoluut convergente reeks kan men de volgorde van de termen willekeurig omgooien zonder de reekssom te beïnvloeden. Bij een convergente reeks die niet absoluut convergent is (een voorwaardelijk convergente reeks), geldt dit helemaal niet. Men kan dan door een goed gekozen herschikking van de termen zelfs eender welke limiet bereiken.

Geometrische of meetkundige reeksBewerken

De reeks voortgebracht door de machten van een getal   met absolute waarde kleiner dan 1 is absoluut convergent:

 

Dit is als volgt te bewijzen:

 
 
 
 
 
  .

Zie ook, meer algemeen, meetkundige reeks.

Harmonische reeksBewerken

De harmonische rij is in de wiskunde de rij  , dus met algemene term:  

Het is een van de eenvoudigste rijen met de eigenschap   (zie grote-O-notatie), dus de eigenschap dat   begrensd is.

De bijbehorende harmonische reeks

 

is divergent.

  is voor grote n bij benadering gelijk aan  : beide gaan naar oneindig, maar het verschil heeft als limiet de constante van Euler-Mascheroni.

Hyperharmonische reeksBewerken

Een hyperharmonische reeks is een reeks van de vorm

 
waarbij  

We kunnen de volgende gevallen onderscheiden:

  1. Als p=1: harmonische reeks, divergeert
  2. Als p<1: hyperharmonische reeks, divergeert
  3. Als p>1: hyperharmonische reeks, convergeert

Alternerende reeksBewerken

Bij een alternerende reeks wisselen de termen elke keer van teken. Een alternerende reeks, waarvan de absolute waarde van de algemene term convergeert naar nul en elke term in absolute waarde niet groter is dan zijn voorganger, is convergent.

De reeks   is convergent, maar niet absoluut convergent:

 

Deze reeks heet alternerende harmonische reeks.

Andere typen reeksenBewerken

VoorbeeldenBewerken

Voorbeelden van reeksen die een relatie hebben met het getal π.

Van Leonhard Euler zijn de reeksen:

 

en

 

Van Gottfried Wilhelm von Leibniz zijn de reeksen:

 

en

 

Zie ookBewerken