Hoofdmenu openen

Een reeks heet voorwaardelijk convergent als de reeks convergent is, maar niet absoluut convergent, d.w.z

bestaat en ,

maar

De uitkomst van de (oneindige) optelling van een voorwaardelijk convergente reeks is afhankelijk van de volgorde waarin de termen bij elkaar worden geteld.

Inhoud

Convergentie versus absolute convergentieBewerken

Een reeks   heet absoluut convergent als de absolute waarden van de termen een convergente reeks vormen, dus als:

 

Elke absoluut convergente reeks is convergent.

Bij een absoluut convergente reeks kan men de volgorde van de termen willekeurig omgooien zonder de reekssom te beïnvloeden.

Een convergente reeks die niet absoluut convergent is, is voorwaardelijk convergent. Men kan dan door een goed gekozen herschikking van de termen zelfs eender welke limiet bereiken, inclusief oneindig en min oneindig.

BewijsBewerken

Een schets van een bewijs hiervoor:

  • Stel   is een convergente reeks en   is divergent. Dan kan dit alleen als  .
  • Verdeel nu de rij   in twee deelrijen, een met de positieve en de andere met de negatieve termen. Minstens een van beide heeft een oneindige som. Om toch eindig uit te kunnen komen, moet dat ook voor de andere gelden.
  • Maak nu (voor zekere waarde  ) een nieuwe oneindige som   op de volgende wijze: Als de som van de eerste   elementen groter is dan  , nemen we het eerste nog niet gebruikte element van de negatieve deelrij, anders het eerste nog niet gebruikte element uit de positieve deelrij.
  • In de zo gevormde oneindige som zullen alle termen van de uitgangsrij weer voorkomen, maar in een andere volgorde en de reeks zal convergeren naar  .
  • Om een reeks met som oneindig te krijgen: plaats steeds na een negatief element zoveel opeenvolgende elementen van de deelrij van positieve elementen dat per saldo de som van de reeks minstens 1 toeneemt.

Generalisatie voor rijen vectorenBewerken

Laat   een reeks vectoren zijn in een reële Hilbertruimte   waarvoor

 

convergeert. en laat verder   een eenheidsvector zijn waarvoor

 

voorwaardelijk convergeert. Dan kan elke vector   geschreven worden als

 

voor zekere permutatie   van  .

VoorbeeldBewerken

De reeks met als  -de term

 

convergeert voorwaardelijk naar  . Deze reeks convergeert niet in absolute zin, want de harmonische reeks   is divergent.

De alternerende reeks

 

is niet absoluut convergent, maar wel voorwaardelijk

ReferentiesBewerken