Stelling van Lagrange (groepentheorie)

groepentheorie

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, legt de stelling van Lagrange een verband tussen de orde van een eindige groep en die van zijn ondergroepen. De stelling zegt dat de orde van een ondergroep een deler is van de orde van de groep. Anders gezegd: het aantal elementen van de groep is een geheel veelvoud van het aantal elementen van een ondergroep. De stelling is vernoemd naar Joseph Lagrange.

DefinitieBewerken

Zij   een eindige groep en   een ondergroep van  . Volgens de stelling van Lagrange is dan de orde van   een deler van de orde van  , d.w.z.:

 

In woorden: het aantal mogelijke permutaties (combinaties) van de hoofdgroep   is altijd een heel, positief veelvoud ( ) van het aantal mogelijk permutaties van de subgroep  .

Bewijs van de stelling van LagrangeBewerken

Allereerst definiëren we de relatie   op   als volgt

 

Van   zullen we aantonen dat het een equivalentierelatie op   is.

  • Reflexiviteit: Omdat   een ondergroep van   is, erft   het neutraal element van  ,  , over. We zien nu dat
  en  , dus  .
  • Symmetrie: Laat   en  . Er geldt nu dat
 .
  • Transitiviteit: Laat   met   en  . Dan
  en ook  . Omdat   een groep is, geldt  , zodat
 , en dus  .

Hieruit concluderen we dat   een equivalentierelatie op   is. Omdat

 

zijn de rechternevenklassen   van   in   de equivalentieklassen. Equivalentieklassen vormen een partitie van  , en dus is

 

Ten slotte merken we op dat

 

Dit betekent dat

 

Hieruit volgt automatisch dat   een deler is van  .

OpmerkingBewerken

Dit bewijs is geleverd met rechternevenklassen, maar we hadden net zo goed gebruik kunnen maken van linkernevenklassen.

IndexBewerken

Op grond van de stelling van Lagrange kan men zich afvragen hoeveel disjuncte nevenklassen   in   heeft, oftewel wat de waarde van   is. Dit noemt men de index van   in  . Men noteert dit als:

 

Zie ookBewerken