Homothetie (meetkunde)

meetkunde

In de euclidische meetkunde is een homothetie (<Oudgrieks: ὃμος (hómos) = gelijk, τίθημι (tithèmi) = plaatsen) of vermenigvuldiging een afbeelding die vanuit een vast punt, het centrum van de vermenigvuldiging, alle afstanden in een vaste verhouding verandert. Een homothetie beeldt elke rechte lijn af op een daarmee evenwijdige rechte lijn. Het origineel en de beeldfiguur (ook wel produktfiguur) heten gelijkstandige figuren; dit geldt ook voor punten.[1]

Voorbeeld van een homothetie; gelijkstandige vierhoeken op basis van die homothetie

Formele definitieBewerken

Een vermenigvuldiging ten opzichte van een (reëel) punt   met (schaal)factor   beeldt het punt   af op het punt   dat voldoet aan de volgende voorwaarden:

  •   ligt op de lijn  ,
  •  , waarbij het teken van   aangeeft of   en   aan dezelfde kant van   ( ) of aan weerszijden van   ( ) liggen,
  • als   met   samenvalt, valt   met   samen (  wordt dus op zichzelf afgebeeld).

Enkele eigenschappenBewerken

 
Gelijkvormigheidscentra   en   bij twee cirkels
  • Een homothetie beeldt elke figuur af op een daaraan gelijkvormige figuur. Dit volgt uit de gelijkstandigheid van beide figuren.
  • Een homothetie beeldt een veelhoek af op een veelhoek waarvan de zijden evenwijdig zijn met die van het origineel.
  • Zijn van twee gelijkvormige veelhoeken de zijden evenwijdig, dan is er een homothetie die de ene veelhoek op de andere afbeeldt. Het punt   wordt dan het gelijkvormigheidscentrum van beide figuren genoemd. Voor twee gelijkvormige puntsymmetrische veelhoeken met evenwijdige zijden of voor twee cirkels bestaan in bepaalde gevallen twee homothetieën; en dan bestaan er dus ook twee gelijkvormigheidscentra. In het voorbeeld in nevenstaande figuur zijn de punten   en   de gelijkvormigheidscentra.
  • Een homothetie met factor   beeldt een veelhoek met oppervlakte   af op een veelhoek met oppervlakte  .

Zie ookBewerken

NootBewerken

  1. P. Wijdenes: Vlakke meetkunde. Groningen: P. Noordhoff N.V.; derde druk (1964), pag. 73−74.