Integratie door substitutie

In de integraalrekening is substitutie een techniek om primitieve functies te bepalen en integralen op te lossen. Het is een van de meest gebruikte technieken om primitieve functies te vinden en volgt uit de kettingregel voor afgeleiden. Eerst volgt de formele regel, daarna verduidelijkende voorbeelden.

SubstitutieregelBewerken

Stel   is een continue functie en   een functie die bijectief en differentieerbaar is met   en  , dan geldt:

 

Dit is plausibel te maken door de substitutie  . Dan is:

 

of anders geschreven

 

Omdat de functie f integreerbaar is, kan de integraal vanwege de hoofdstelling van de integraalrekening uitgedrukt worden in een primitieve functie F van f:

 

Klassieke substitutiesBewerken

Voorbeeld 1Bewerken

We weten dat   Stel dat we   willen bepalen, dan gaat deze integraal door de substitutie   dus met   over in

 

Voorbeeld 2Bewerken

Nu passen we de formule in de andere richting toe, van rechts naar links dus. We beschouwen de volgende integraal:

 

Door de substitutie   wordt   en dus  . De integraal wordt dan

 ,

zodat

 

Voorbeeld 3Bewerken

Ten slotte een voorbeeld van een bepaalde integraal. Nu moet eraan gedacht worden ook de grenzen aan te passen.

 .

Substitutie: stel  .
Grenzen aanpassen:  

 

In tegenstelling tot de voorgaande voorbeelden, is het bij een bepaalde integraal niet nodig achteraf terug te substitueren.

Goniometrische substitutiesBewerken

Bij goniometrische substituties voeren we een goniometrische functie in. Dit kan helpen bij het integreren van onder meer wortelvormen zoals  ,   en   Hierbij maken we gebruik van (onder andere) de volgende goniometrische identiteiten:

 
 
 

Voorbeeld 4Bewerken

Een klassieker is de bepaling van

 

voor  .

We gebruiken als substitutie:

 , dus  ,

en vinden:

 

We gebruiken nu dat

 ,

zodat:

 

Om   als functie van   te vinden, gebruiken we dat

 ,

en substitueren terug:

 

Voorbeeld 5Bewerken

De Weierstrass-substitutie, genoemd naar de Duitse wiskundige Karl Weierstrass, is een methode, die wordt gebruikt om met behulp van substitutie een integraal te berekenen.

Zie ookBewerken